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Tag - assurance

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Wednesday, December 5 2012

Interview sur mutualisation versus segmentation

Hier, j'ai été un peu surpris quand un ancien collègue en France m'a parlé d'une interview exclusive (de moi) sur http://argusdelassurance.com/.... Puis je me suis souvenu qu'il y a quelques semaines, Madeleine m'avait contacter pour me poser quelques questions sur les assurance « à la carte », et la plus grande modularité des produits. Elle avait mis le doigt sur deux questions importantes, "comment procéder au calcul quand les offres sont personnalisées" et "est-ce intéressant pour l'assureur, pour l’assureur" ? Pour la première partie, c'est technique, et ça correspond à ce qu'on fait dans les cours de tarification (on en reparle dans quelques semaines, promis). Par contre le second point est plus troublant. Avec la théorie économique d'un côté, et les principes d'antisélection et d'aléa moral, mais qui insiste sur la nécessité, et pas l'intérêt de la segmentation... Afin de partager mon point de vue sur ces problèmes, j'avais voulu reprendre simplement un modèle qu'on avait utilisé dans le livre avec Michel Denuit (tome 1). Cet exemple nécessite un peu de formalisation, et j'ai été très surpris de voir que Madeleine l'avait gardé. Mieux, qu'elle l'avait clarifié (il faut dire qu'elle m'avait demandé un courriel en fin de journée, et que j'avais tapé ça rapidement, tout en faisant les devoirs des grands, et le bain de la plus petite... quand je relis ce que j'avais envoyé, et ce qu'elle en a fait, je suis admiratif). Mais prenons deux minutes pour reformuler cette histoire de segmentation d'un marché de l'assurance...

Commençons par le cas le plus simple, sans segmentation, avec mutualisation parfaite (et donc prime unique). En utilisant un principe de prime pure, si http://latex.codecogs.com/gif.latex?S désigne la perte (aléatoire) pour les assurés, la prime à payer serait http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S). Et dans ce cas, en moyenne, le bilan de l'assureur serait équilibré, car http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S-\mathbb{E}(S))=0. Si on regarde l'incertitude associée aux dépenses (disons la variance pour faire simple), les assurés n'ont aucune variance car la dépense est la même pour tous. Tout le risque (la variance) est à la charge de l'assureur. On peut résumer ça dans le petit tableau suivant,


Assurés
Assureur
Dépense

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?S-\mathbb{E}(S)

Dépense moyenne

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?0
Variance
http://latex.codecogs.com/gif.latex?0

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(S)

On a ici la répartition des dépenses et du risque (que nous appellerons variance, à la Markowitz) entre l'assureur et les assurés assez simple, et on a un mécanisme de transfert des risques pur.

Continuons dans un monde parfait (disons avec information parfaite) mais avec cette fois de la segmentation (parfaite). Autrement dit, si la variable de risque est un variable http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega, connue par l'assureur, alors il devrait faire payer http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S|\Omega) pour un assuré portant le risque http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega. Cette fois, la décomposition des dépenses et des risques se fait de la manière suivante


Assurés
Assureur
Dépense

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S|\Omega)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?S-\mathbb{E}(S)

Dépense moyenne

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?0
Variance

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(\mathbb{E}(S|\Omega))

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(S-\mathbb{E}(S|\Omega))

Cette fois, l'assureur prend à sa charge la composante des risques purement aléatoire, mais les assurés prennent à leur charge une partie de la variabilité, correspondant à l'hétérogénéité du portefeuille. On notera que la variance de l'assureur est ici http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(\text{Var}(S|\Omega)): on retrouve ici la formule classique de décomposition de la variance

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(\mathbb{E}(S|\Omega))+\mathbb{E}(\text{Var}(S|\Omega))=\text{Var}(S)

On a ici une première composante qui repose sur les assurés, et la seconde sur les assureurs. C'est d'ailleurs le théorème de Pythagore, avec la variance liée à l'hétérogénéité à gauche, et à droite, la composante purement aléatoire.

Mais dans la vraie vie http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega (le risque intrinsèque de l'assuré) n'est pas connu. On doit faire une segmentation imparfaite: on dispose de quelques variables explicatives, que l'on notera par un vecteur http://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol{X}, et on va essayer de construire un proxy de la variable de risque http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega (c'est le but des méthodes économétriques appliquées en tarification). La décomposition entre l'assureur et ses assurés se fait de la manière suivante


Assurés
Assureur
Dépense

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X})

http://latex.codecogs.com/gif.latex?S-\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X})

Dépense moyenne

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?0
Variance

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X}))

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(\text{Var}(S|\boldsymbol{X}))

qui correspond à la décomposition précédente, en remplaçant la variable non-observée http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega par le proxy construit à partir de http://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol{X}.   Là encore, en moyenne, l'assureur est à l'équilibre, car

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X}))=\mathbb{E}(S)

autrement dit segmenter n'a pas de conséquence, en moyenne, sur le résultat de l'assureur. Par contre, la variance de l'assureur est ici

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(\text{Var}(S|\boldsymbol{X}))=\mathbb{E}(\text{Var}(S|\Omega))+\mathbb{E}(\text{Var}(\mathbb{E}(S|\Omega)|\boldsymbol{X}))

et la variance total du portefeuille est alors la somme

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X}))+\mathbb{E}(\text{Var}(S|\Omega))+\mathbb{E}(\text{Var}(\mathbb{E}(S|\Omega)|\boldsymbol{X}))

avec à gauche, un terme lié à la segmentation, au centre le hasard, et à droite, un terme de solidarité entre assuré (qu'on pourrait appeler de mutualisation), lié au fait que le risque n'est que partiellement assurable. C'est la mutualisation résiduelle qui peut exister en assurance santé si on exclue les tests génétiques: à partir de quelles variables explicatives http://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol{X}, on peut inférer le risque de maladie, mais moins que si des tests génétiques permettaient d'approcher http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega avec une plus grande précision... Autrement dit, segmenter imparfaitement, ou partiellement, permet de maintenir un effet de mutualisation dans le portefeuille.... de faire de l'assurance en quelque sorte...

Monday, December 3 2012

Méthodes de lissage en assurance

Dans le cours de modèles de prévision, j'avais abordé les méthodes de régression locale rapidement, en finissant la section sur les données individuelles. On verra plus d'outils la session prochaine dans le cours actuariat IARD, a.k.a. ACT2040 (que je donnerais cet hiver). En attendant, je mets en ligne les transparents du cours que vient de donner Julien Tomas à l'Institut de science financière et d'assurances (à Lyon, en France), dans un contexte d'assurance dépendance,

(et que Julien m'a autorisé à diffuser).

Wednesday, November 21 2012

Actuariat en Afrique subsaharienne francophone

Depuis que le blog (ou le précédent) existe, je sais (par les messages que je reçois par courriel) qu’il est beaucoup lu en Afrique (francophone). J’ai reçu avant hier un livre publié par Aymric Kamega et Frédéric Planchet, tiré de la thèse de doctorat d’Aymric (en ligne sur http://halshs.archives-ouvertes.fr/) défendue en décembre dernier. J’étais alors rapporteur extérieur, et j’avais souligné l’intérêt des travaux d’Aymric dans le cadre de la volonté de la CIMA (autorité de contrôle régionale des marchés d’assurance pour l’Afrique subsaharienne francophone) de fournir aux assureurs de la région des outils adaptés. En particulier des tables de mortalité d’expérience, propres à la région. KamegaEn effet, (comme le rappelle Aymric), suite aux états généraux (de l’assurance vie)  en 2007, le principe de la construction de tables de mortalité d’expérience a été adopté en remplacement des tables de mortalité de la population générale française entre 1960 et 1964 (tables dites PM 60-64 et PF 60-64) jusqu’alors imposées. Aymric avait travaillé sur ce sujet, et a soutenu une thèse de doctorat qui avait fait l'unanimité. J’avais pris beaucoup de plaisir à lire la thèse, j’en pense que j’en aurais à lire le livre (disponible sur le site de l’éditeur http://seddita.com/).

Tuesday, February 28 2012

Attention, voilà une formule de maths

Ce midi, alors que nous survolions avec des collègues la version papier du Magazine de l'UQAM (lu par un personnel universitaire), nous sommes tombé sur l'avant-dernière page, avec la publicité d'un assureur (qui ne figure pas dans la version électronique, donc on se contentera d'un scan):

Si on regarde attentivement le tableau noir, on nous rappelle la définition de la dérivée d'une fonction,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/assurance-02.gif

et on regarde le cas particulier où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/assurance-01.gif (en plus on crée l'illusion en notant http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/assurance-3.gif la nouvelle dérivée mais c'est juste que le tableau complique inutilement quelque chose de relativement simple). Suit cette phrase " il existe une formule plus simple pour protéger votre famille". J'avais déjà fait un billet il y a quelques années (sur une formule magique permettant de calculer des retraite, qui est juste une somme actualisée de flux futurs), car j'avoue être surpris qu'on utilise un tel argument... Tout d'abord, je suis assez mal à l'aise de voir qu'une direction d'une compagnie d'assurance (composée d'actuaires, qui sont censés avoir appris des choses plus compliquées que la dérivée d'un polynôme de degré 2... enfin, j'espère) nous explique - avec ce genre de formule - qu'ils font des choses qui sembleraient compliquées. Auquel cas, ça dévalorise fortement le travail des actuaires dans cette compagnie. De plus, je ne suis pas historien des maths, mais je croyais que les mathématiques permettent de simplifier à l'aide de quelques symboles des concepts qu'il serait compliqué de verbaliser. De la même manière, j'étais toujours surpris quand on me demandait, en France, de mettre moins d'équations dans mes transparents: les équations sont une version synthétique d'un concept souvent compliqué. Ne pas mettre des équations veut dire couvrir de texte des transparents alors qu'une image, un dessin voire une équation crée de la simplicité...

Friday, June 17 2011

Loi des grands nombres et théorème central limite en assurance

Dans le dernier numéro de la revue Risques figure un petit article sur la loi des grands nombres et le théorème central limite en assurance (ici) Le but était de remettre un peu les pendules à l'heure sur la différence entre les implications de ces deux résultats, et surtout d'amorcer une discussion sur l'importance des hypothèses (en particulier celle de risques indépendants).

Friday, February 25 2011

Pour une tarification de l'assurance automobile à l'aide du tour de poitrine !

Plusieurs sites spécialisés en assurance commencent à évoquer un arrêté probable de la cour européenne sur la discrimination en assurance (par exemple ici ou ). Une des bases (économiques) de l'assurance est le principe d'Akerlof qui pousse les assureurs à segmenter par classe de risque. Afin de segmenter, et de révéler les classes de risques, on utilise l'historique de sinistralité (information dite a posteriori), ou bien des informations exogènes (dites a priori) sur le conducteur, le véhicule, son usage, etc. Par exemple on peut utiliser l'ancienneté du véhicule, et le nombre de kilomètre effectués (en moyenne) par le conducteur, comme sur le graphique ci-dessous (retrouvé dans les transparents que l'on utilisait avec François Bucchini quand on donnait le cours d'assurance dommage à l'ENSAE, les probas étant "normalisées" dans une espère de base 100)

ou encore le type de carburant utilisé (diesel ou essence)

On retrouve que plus on conduit, plus la probabilité d'avoir un accident augmente, mais le carburant et l'âge du véhicule semblent être aussi des variables discriminantes. Et parmi les variables qui semblent significatives (pour expliquer la probabilité d'avoir un accident), il y a le sexe (croisé ici avec le kilométrage, comme auparavant),

Alors l'effet peut sembler marginal sur ce graphique... mais c'est loin d'être le cas. Par exemple, sans utiliser des techniques très poussées en économétrie, on peut regarder le nombre moyen de sinistres, et le coût moyen de sinistres, par sexe, et par tranche d'âge (voire aussi par CSP et par puissance du véhicule). Dans une étude faite par un assureur, j'avais trouvé les chiffres suivants

En haut à droite (beaucoup d'accidents, et coût - en moyenne - élevé) on retrouve les jeunes hommes. Donc oui, les jeunes hommes sont significativement beaucoup plus risqués que les autres conducteurs. Et le soucis est que, si on ne segmente pas, Georges Akerlof nous explique que le marché de l'assurance disparait, les "bons" risques ne voulant plus payer pour les "mauvais" risques. Sans pour autant rentrer dans une spirale infernale de la segmentation, il est bon que les primes restent corrélées au risque sous-jacent.

Les assureurs prétendent qu'ils ne «ne font pas de la discrimination, ils font de la différenciation ». Je ne rentrerais pas sur les débats de terminologie (pas aujourd'hui en tous les cas), mais le but n'est pas de trouver des variables "explicatives" de la sinistralité au sens causal (malgré la terminologie usuelle des économètres) mais de trouver des variables "corrélées" avec une forte sinistralité, et de les utiliser pour segmenter. Les assureurs européen avaient, jusqu'alors, bénéficié d'un sursis dans le calcul des primes qui leur permet de pratiquer des tarifs différents « lorsque le sexe est un facteur déterminant dans l’évaluation des risques».

Dans un cours d'analyse de données, j'avais montré (ici) qu'à partir des notes de étudiant(e)s à différents examens, je pouvais prédire le sexe des étudiants. Bon, l'étude avait été faite rapidement, avec un petit jeu de données (et donc sans population d'apprentissage et de test), mais il est facile de trouver des variables permettant de deviner le sexe d'un conducteur. D'aucuns pourraient être tentés d'utiliser la pointure des chaussures, mais personnellement je préférerais le tour de poitrine, ou un tour de poitrine ramené à un tour de hanche. Je suis presque sûr qu'avec de telles observations, on peut avoir des variables fortement corrélées avec la survenance d'accident ! En tous les cas ça promet un peu d'animation chez les agents d'assurance ! voire chez les chirurgiens esthétiques (retirer les implants mammaires pour faire baisser sa prime d'assurance auto, voilà qui est original) !

Friday, February 4 2011

Les prix ont-ils vraiment monté ?

J'avais évoqué l'autre jour (ici) les ordres de grandeurs sur les indemnisations des accidents corporels.

Hier soir, Benoit m'a envoyé un rapport publié par le Comité consultatif du secteur financier (en ligne ici) sur l'évolution des prix de l'assurance. J'ai retenu deux graphiques assez surprenant, où les primes d'assurance auto sont comparées à l'évolution des prix de consommations usuelles,
et afin de comparer à un autre produit d'assurance, on peut regarder l'assurance multirisque habitation,
Je suis assez surpris par l'évolution des prix de l'assurance auto, même si j'ai du mal à comprendre comment on peut construire un "indice des prix de l'assurance" (les contrats étant tous complètement différents en terme de garantie, de franchises) Ne mesure-ton pas ici un changement en terme de couverture des assurés, plus que de prix...? J'aimerais bien connaître l'évolution des franchises dans le temps par exemple, ou la proportion des contrats achetés pour lesquels le conducteur est assuré...

Wednesday, October 7 2009

A quand des élites avec un minimum de culture économique ?

(et non pas idéologique....). J'ai beaucoup apprécié le dernier billet sur le blog de Cimon (ici), et je conseille d'aller y faire un saut...
J'avais déjà parlé il y a quelques mois (ici) du rattachement entre l'ACAM (autorité de contrôle des assurances et des mutuelles) et de la Commission Bancaire. Et j'avais dit tout le mal que j'en pensais, car la banque et l'assurance présentent, certes, beaucoup de similitudes, mais ce sont malgré tout des activités très différentes, ce que j'ai pu appelé parfois une forme de dualité: le système banquaire fonctionnant sur la confiance que placent les banques dans leurs clients (les créditeurs étant les personnes qui ont souscrit des crédits), et le système d'assurance fonctionnant sur la confiance que placent les assurés dans leur compagnie d'assurance (car les assurances vendent des promesses).
L'assurance a donc fondamentalement besoin d'être contrôlé, et en particulier un régulateur a besoin de vérifier que les assureurs pourront tenir leurs engagements, ce qu'on appelle la solvabilité.
Il y a quelques mois, Guillaume Plantin (ancien commissaire contrôleur, actuellement enseignant à la London Business School) et Jean Charles Rochet (professeur à TSE1) ont publié un ouvrage très très instructif when insurers go bust. Comme ils le notent très justement à la fin (je ne m'empêcherais pas de mettre en ligne deux pages, ici et , qui sont les deux pages de conclusion du livre) "the only convincing raison d’être of prudential regulation is the policyholders’ coordination problem. As long as an insurance company does well, it is optimal to let the top management and shareholders run it without constraints". Et comme le montrent tous les petits modèles qu'ils présentent dans l'ouvrage, la régulartion "maximizes the social value of insurance". Bref, l'évolution actuelle est davantage dictée par des arguments idéologiques que par des motivations éonomiques....
1 Jean-Charles avait coécrit un joli économie de l'assurance chez Economica, il y a maintenant quelques années, c'est dire s'il connait le sujet. J'avais eu  Jean-Charles comme prof à l'ensae, sur un cours d'économie de la banque (il venait de publier un livre sur le sujet avec Xavier Freixas). Je me souviendrais toujours d'une remarque qu'il avait faite à la toute fin du cours comme quoi la régulation était indispensable, en assurance tout comme en banque, mais qu'en pratique, si les agents étaient rationnels, elle ne servait à rien car seule la menace suffisait (c'est la notion de menace crédible).

Wednesday, April 22 2009

Expliquer l'assurance vie et la retraite

En fouillant un peu dans mes cartons, j'ai enfin remis la main sur un article qui avait trôné dans mon bureau à l'ENSAE pendant plusieurs mois. De mémoire, je croyais qu'il s'agissait d'un article du Monde, mais après quelques recherches, je me suis rendu compte qu'il s'agissait d'un article paru fin 2003 dans le Canard Enchaîné, hebdomadaire pour lequel j'ai une immense admiration pour les informations (et surtout les jeux de mots), mais pour une fois, je serai assez critique.

En particulier, le petit encadré en bas à gauche m'avait interpellé,

Cet article parle du calcul des retraites - sujet ô combien important - et s'étonne, ou s'insurge, que le calcul d'une retraite soit "insensé" (c'est à dire selon mon dictionnaire "qui a perdu le sens"). Or précisément cette formule a du sens (tout du moins si l'on remplace x - qui est l'inconnue révélatrice de l'incompréhension face aux formules mathématiques dans l'imaginaire collectif - par un signe de multiplication). Les rapports des L sont les probabilités d'être en vie - et donc de pouvoir toucher effectivement une retraire, et on retrouve les facteurs d'actualisation devant. Bref, on retrouve une formule qui s'interprète "simplement" comme valeur actuelle probable des flux futurs. Le document initial peut se trouver ici (merci à Benoit Bellone pour la référence), il s'agit de la section 8.3 ("Garantir le niveau des retraites: Les conséquences financières pour les futurs retraités") du Rapport économique, social et financier, Tome I  Perspectives économiques 2003-2004 et évolution des finances publiques. Une partie explique en détail la "neutralité financière d'un régime de retraite", et ce sont ces formules qui semblent avoir inspiré l'article du Canard,

Je pense que cet article (pourtant paru dans un journal dont le lectorat est majoritairement de la classe supérieure élevée) est assez symptomatique du manque de culture scientifique des journalistes. Sans vouloir faire offense à l'esprit anticlérical du Canard, cet article m'a rappelé une réflexion du philosophe Calvin (ami de Hobbes, le tigre)

Thursday, April 10 2008

Econométrie de l'assurance, un rapide survol


Rapide exposé dans le cadre d'une rencontre entre les économistes et les statisticiens rennais: glm, gam, gnm et données de panels.