Exchangeability is an extremely concept, since (most of the time) analytical expressions can be derived. But it can also be used to observe some unexpected behaviors, that we will discuss later on with a more general setting. For instance, in a old post, I discussed connexions between correlation and risk measures (using simulations to illustrate, but in the context of exchangeable risk, calculations can be performed more accurately). Consider again the standard credit risk problem, where the quantity of interest is the number of defaults in a portfolio. Consider an homogeneous portfolio of exchangeable risk. The quantity of interest is here
or perhaps the quantile function of the sum (since the Value-at-Risk is the standard risk measure). We have seen yesterday that - given the latent factor - 
(either the company defaults, or not), so that
i.e. we can derive the (unconditional) distribution of the sum
so that the probability function of the sum is, assuming that 
> proba=function(s,a,m,n){ + b=a/m-a + choose(n,s)*integrate(function(t){t^s*(1-t)^(n-s)* + dbeta(t,a,b)},lower=0,upper=1,subdivisions=1000, + stop.on.error = FALSE)$value + } > QUANTILE=function(p=.99,a=2,m=.1,n=500){ + V=rep(NA,n+1) + for(i in 0:n){ + V[i+1]=proba(i,a,m,n)} + V=V/sum(V) + return(min(which(cumsum(V)>p))) }
> PICTURE=function(P){ + A=seq(.01,2,by=.01) + VQ=matrix(NA,length(A),5) + for(i in 1:length(A)){ + VQ[i,1]=QUANTILE(a=A[i],p=.9,m=P) + VQ[i,2]=QUANTILE(a=A[i],p=.95,m=P) + VQ[i,3]=QUANTILE(a=A[i],p=.975,m=P) + VQ[i,4]=QUANTILE(a=A[i],p=.99,m=P) + VQ[i,5]=QUANTILE(a=A[i],p=.995,m=P) + } + plot(A,VQ[,5],type="s",col="red",ylim= + c(0,max(VQ)),xlab="",ylab="") + lines(A,VQ[,4],type="s",col="blue") + lines(A,VQ[,3],type="s",col="black") + lines(A,VQ[,2],type="s",col="blue",lty=2) + lines(A,VQ[,1],type="s",col="red",lty=2) + lines(A,rep(500*P,length(A)),col="grey") + legend(3,max(VQ),c("quantile 99.5%","quantile 99%", + "quantile 97.5%","quantile 95%","quantile 90%","mean"), + col=c("red","blue","black", +"blue","red","grey"), + lty=c(1,1,1,2,2,1),border=n) +}
> PICTURE(.15)
Which is quite intuitive, somehow. But if the marginal probability of default decreases, increasing the correlation might decrease the risk (i.e. the quantile function),
> PICTURE(.05)
(with the modified code to visualize the quantile as a function of the underlying default correlation) or even worse,
> PICTURE(.0075)
Sur le premier pilier, assureurs et réassureurs devront
mesurer les risques, et devront s'assurer qu'ils détiennent
suffisement de capital pour les couvrir. En pratique, le CEIOPS et la
Commission Européenne ont retenu une probabilité de ruine
de 0,5%. Les calculs de capital se font alors de deux manières,
au choix,
Cette formule sort du QIS3, mais on trouve des choses analogues dans Sandström (2004), par exemple,
Avec une contrainte forte sur la forme du SCR, il obtient alors
D'où sort cette formule ? Certains ont tenté des éléments de réponse, par exemple
Ce résultat n'est malheureusement pas très probant car il
n'est jamais rien évoqué sur la dépendance entre
les composantes, ce qui est troublant. Sandstôrm écrit quelque chose de similaire, même si pour lui "normalité" est ici entendu dans un cadre multivarié.
Une explication peut être trouvée dans un papier de Dietmar Pfeiffer et Doreen Straßburger (
Il note, et c'est effectivement l'intuition que l'on avait, que dans un monde Gaussien (multivarié), cette formule marche, aussi bien pour un SCR basé sur la VaR que la TVaR. En particulier, ils citent un livre de Sven Koryciorz, correspondant à sa thèse de doctorat, intitulée "Sicherheitskapitalbestimmung und –allokation in der Schadenversicherung. Eine risikotheoretische Analyse auf der Basis des Value-at-Risk und des Conditional Value-at-Risk", publiée en 2004.
Il est pourtant facile de montrer que ce n'est pas le cas (même si c'est effectivement ce que préconise la "formule standard").
Le graphique ci-dessous montre l'évolution de la VaR d'une somme
de risques corrélés (échangeables) en fonction de
la corrélation sous-jacente: sur cet exemple, les risques
très très corrélés sont moins risqués que des risques moyennement corrélés.
(la loi sous-jacente est une copule de Student). En revanche pour la TVaR, sur le même exemple, la TVaR de la
somme est effectivement une fonction croissante avec la
corrélation,
