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Tag - ACT2121

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Thursday, December 20 2012

Actuariat 1, examen 3

http://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2012/12/tumblr_m93iu0p10Z1qbb7f3o1_r1_500.gif

L'examen de lundi est en ligne ici, avec des éléments de correction (avec comme toujours des statistiques sur les réponses). Les notes seront publiées bientôt. Toute personne qui trouve des erreurs peut me contacter avant que je ne valide les notes. L'examen correspondait à l'examen de pratique 15 du livre de Jacques Labelle (je n'ai rien inventé). Pour une des questions, la réponse n'était pas parmi les réponses proposées. J'ai donc finalement noté l'épreuve sur 29 (et appliqué un coefficient multiplicatif pour ramener à une note sur 30). Comme toujours, ceux qui ont prédit correctement leur nombre de bonnes réponses ont eu un point bonus.

http://f.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2012/12/tumblr_m93iu0p10Z1qbb7f3o2_r1_500.gif

Monday, December 10 2012

Actuariat 1, ACT2121, huitième cours

Pour le huitième cours, on continuera les exercices commencés la semaine passée. Je mets toutefois en ligne quelques exercices supplémentaires, pour ceux qui souhaitent s'entraîner davantage. Pour rappel (?) l'examen final aura lieu dans 2 semaines lundi prochain, et portera sur l'ensemble de la matière,

Sunday, December 2 2012

ACT2121, éléments de correction

Le second intra avait lieu lundi dernier. L'énoncé est en ligne, ainsi que des éléments de correction (comportant également des statistiques par réponse, la bonne réponse étant en rouge). Comme annoncé au tableau, dans la question 21, il y a eu un copier-coller malencontreux (les bonnes réponses ont été écrites au tableau). Toutes mes excuses. Quant à la question 29, certains élèves s'étaient plaint de ne avoir de table de loi normale à disposition. J'avais projeté au tableau la table suivante. A mes yeux, la probabilité qu'une loi normale (centrée et réduite) soit inférieure à 2 devrait être sue par cœur (comme beaucoup d'autres quantités).

Thursday, November 29 2012

Actuariat 1, ACT2121, septième cours

Toujours dans le cadre de la préparation à l'examen P de la SOA, une série d'exercices. Comme il reste trois semaines (en plus de l'examen final), on va essayer de finir de revoir l'ensemble des notions. Les 50 exercices sont en ligne ici. L'énoncé et la correction du devoir de lundi dernier seront mis en ligne très bientôt...

Sunday, November 18 2012

Actuariat 1, ACT2121, sixième cours

Avant le second intra, une dernière série d'exercice, pour préparer l'examen P, en ligne ici

Monday, November 12 2012

ACT2121, éléments de correction (3)

Retour sur la correction faite rapidement au tableau pour l'exercice 18 de la 5ème série d'exercices. Pour résumer, on nous disait que http://latex.codecogs.com/gif.latex?X avait pour fonction génératrice des moments

http://latex.codecogs.com/gif.latex?M_X(t)=\left(\frac{e^t}{3-2e^t}\right)^4

Or avec la fonction génératrice des moments (ou ses dérivées) on obtient les moments (en calculant des dérivées et en faisant des développements en série entière), et pas les probabilités, e.g. http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(X=6) comme demandé dans l'exercice. Notons tout d'abord que l'on peut écrire

http://latex.codecogs.com/gif.latex?M_X(t)=\left(\frac{1/3\cdot%20e^t}{1-(1-1/3)\cdot%20e^t}\right)^4

L'astuce est donc de reconnaître une loi connue. On ne reconnait ni la loi binomiale, ni la loi de Poisson. En revanche, le terme fractionnaire est la fonction génératrice des moments d'une loi géométrique, de probabilité http://latex.codecogs.com/gif.latex?p=1/3.

Aussi, comme la puissance apparaît en prenant des sommes de variables indépendantes, on peut noter que

http://latex.codecogs.com/gif.latex?X\overset{\mathcal{L}}{=}G_1+G_2+G_3+G_4

où les variables http://latex.codecogs.com/gif.latex?G_i sont indépendantes, de loi géométrique de probabilité http://latex.codecogs.com/gif.latex?p=1/3, vérifiant pour http://latex.codecogs.com/gif.latex?k=1,2,\cdots

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(G_i=k)=(1-p)^{k-1}p

La somme des quatre variables fait penser à une loi binomiale négative. En fait, avec cette écriture,

http://latex.codecogs.com/gif.latex?Z=G_1+G_2+G_3+G_4-4

suit une loi binomiale négative http://latex.codecogs.com/gif.latex?BN(p,r=4). Et aussi

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(N=6)=\mathbb{P}(Z=2)

Reste à écrire cette probabilité

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(Z=2)=\frac{\Gamma(4+2)}{2!\Gamma(4)}\frac{1}{3^4}\frac{2^2}{3^2}=\frac{2^3\cdot%205}{3^6}

Sunday, November 11 2012

Actuariat 1, ACT2121, cinquième cours

Nouvelle série d'exercices pour s'entraîner pour l'examen P, en ligne ici.

Sunday, November 4 2012

Actuariat 1, ACT2121, quatrième cours

(si on oublie l'examen intra de la session passée). Pour cette quatrième session d'entraînement pour l'examen P, les transparents sont en ligne ici.

Monday, October 29 2012

ACT2121 premier examen

Cet après-midi avait lieu le premier examen d'actuariat 1, préparatoire pour l'examen P de la SOA. Comme pour l'examen P, il y avait des questions à choix multiples, en un temps (très limité). Le sujet est en ligne, ainsi que des éléments de corrections (bientôt) ici. Si vous n’êtes pas d'accord avec mes corrections, merci de me le dire rapidement, si possible avant que je n'attribue les notes...

[5 novembre 2012] les notes sont en ligne, et je me suis permis de rajouter les graphiques de distribution des réponses dans le solutionnaire.

Tuesday, October 23 2012

ACT2121, éléments de correction (2)

Un petit complément pour revenir sur un calcul fait hier, en classe, au tableau.

"Une police d’assurance couvre des pertes X et Y qui sont des variables aléatoires continues fonction dont on donne la densité conjointes. Trouver l’espérance du remboursement s’il est de X + Y avec un déductible de 1."

Au tableau, je m'étais lancé dans des calculs un peu compliqué (notant que les variables étaient indépendantes, on pouvait utiliser la convolution pour trouver la loi de la somme facilement... mais on reviendra sur ce calcul plus tard). La solution la plus simple était la suivante: la loi de http://latex.codecogs.com/gif.latex?(X,Y) admet pour densité http://latex.codecogs.com/gif.latex?f_{X,Y}(x,y)=2x\boldsymbol{1}_{[0,1]\times[0,1]}(x,y). Le remboursement http://latex.codecogs.com/gif.latex?R est la variable aléatoire
http://latex.codecogs.com/gif.latex?R=h(X,Y)=(X+Y-1)\boldsymbol{1}_{]1,+\infty[}(X+Y)

On peut alors faire le calcul de
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(R)=\int_{\mathbb{R}^2}%20h(x,y)f(x,y)dxdy
i.e.
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(R)=\int_0^1%20\int_{1-x}^1%20[x+y-1]2x%20dy%20dx
soit
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_0^1%202x\left[(x-1)y+\frac{y^2}{2}\right]_{1-x}^1%20dx=\int_0^1%20x^3dx=\frac{1}{4}
Voilà pour la version simple (et finalement assez générale). Pour la version plus compliquée
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20f_{X,Y}(x,y)=2x\boldsymbol{1}_{[0,1]\times[0,1]}(x,y)=\underbrace{2x%20\boldsymbol{1}_{[0,1]}(x)}\underbrace{%20\boldsymbol{1}_{[0,1]}(y)}
autrement dit, on a obtenu que les deux composantes étaient indépendantes, et que http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20Y est uniformément distribuée sur http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20[0,1]. Aussi, pour la loi de la somme
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20\mathbb{P}(S%3Es)=\int_{0}^1%20\mathbb{P}(S%3Es|Y=y)f_Y(y)dy=\int_{0}^1%20\mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)dy
et par indépendance, 
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)=\mathbb{P}(X%3Es-y)=\int_{s-y}^1%20f_X(x)dx
i.e.
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)=%20\int_{s-y}^1%202x\boldsymbol{1}_{[0,1]}(x)%20dx=\int_{\max\{s-y,0\}}^1%202xdx

soit 
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)=\left[x^2\right]_{\max\{s-y,0\}}^1=1-(\max\{s-y,0\})^2
Aussi
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(S%3Es)=\int_{0}^1%20\big(%201-(\max\{s-y,0\})^2%20\big)dy
Première chose, on note que 
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(S%3E1)=\int_{0}^1%20\big(%201-(\max\{1-y,0\})^2%20\big)dy=\int_{0}^1%20\big(%201-(1-y)^2%20\big)dy

i.e.
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(S%3E1)=\left[y+\frac{(1-y)^3}{3}\right]_0^1=1+0-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}
J'avais alors suggéré d'utiliser (en utilisant la propriété que pour une variable positive, l'espérance est l'intégrale de la fonction de survie) que
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(R)=\int_0^1%20\mathbb{P}(R%3Es)ds
Or cette expression n'est valide que pour une variable strictement positive ! Or ici, il y a de forte chance (1/3) que le remboursement soit nul. Le plus simple est alors de faire des calculs classiques d’espérance. Notons que
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(S%3E1+s)=\left[y+\frac{(1+s-y)^3}{3}%20\right]_0^1=1+\frac{s^3}{3}-\frac{(s+1)^3}{3}

donc un peu de calcul de dérivées permet d'écrire http://latex.codecogs.com/gif.latex?f_S(s)=s(2-s) pour http://latex.codecogs.com/gif.latex?s\in[1,2]. On peut alors calculer l'espérance du remboursement
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(R)=\int_1^2(s-1)f_S(s)ds=\int_1^2(s-1)s(2-s)ds

soit
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(R)=\int_1^2(s^3+3s^2-2s)ds=\left[\frac{s^4}{4}+s^3-s^2\right]_1^2=\frac{1}{4}
Youpi, avec plein de calculs, on arrive au même résultat...
Faisons un peu de simulations pour vérifier,
> n=1000000
> set.seed(1)
> X=sqrt(runif(n))
> Y=runif(n)
On peut vérifier par exemple la densité de http://latex.codecogs.com/gif.latex?S sur http://latex.codecogs.com/gif.latex?[1,2],
> u=seq(1,2,by=.01)
> hist(X+Y,probability=TRUE,col="light blue")
> lines(u,u*(2-u),lwd=2,col="red")

Si on regarde maintenant la prime pure, on retrouve le résultat obtenu par deux calculs différents,
> R=(X+Y-1)*(X+Y>1)
> mean(R)
[1] 0.2497528

Friday, October 19 2012

Actuariat 1, ACT2121, troisième cours

Pour la troisième série d'exercices, les exercices sont en ligne ici.

Je rappelle que lundi 29 octobre aura lieu le premier examen (qui compte pour 33,33% de la note finale, comme annoncé dans le plan de cours, en ligne ici). Il y aura 30 questions, en français, du même type que celles vues toutes les semaines. La correction se fera suivant le principe de l'examen P de la SOA

"A candidate’s score will be based on the number of questions answered correctly. No credit will be given for omitted answers, and no credit will be lost for wrong answers; therefore, a candidate should answer all questions, even if the candidate needs to guess."

Sunday, October 14 2012

Actuariat 1, ACT2121, second cours

Comme la dernière fois, je mets en ligne quelques exercices (une soixantaine cette fois). On devrait commencer à parler des lois usuelles de probabilités, pour l'instant des lois discrètes

  • la loi de Poisson

Si http://latex.codecogs.com/gif.latex?X suit une loi http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathcal{P}(\lambda)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=%20\mathbb%20P(X%20=%20k)=%20e^{-\lambda}\frac{\lambda%20^k}{k!}\,

Dans ce cas, http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(X)=\lambda et http://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(X)=\lambda. La fonction génératrice des moments est alors

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20M_{X}(t)=%20\mathbb{E}(e^{tX})=\exp\left(\lambda%20(e^t-1)\right)
  • la loi binomiale

Si http://latex.codecogs.com/gif.latex?X suit une loi http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathcal{B}(n,p)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=\mathbb%20P(X%20=%20k)=%20{n%20\choose%20k}%20\,%20p^k%20q^{n-k}

Dans ce cas, http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb%20E(X%20)=np et http://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(X%20)=np(1-p). La fonction génératrice des moments est alors

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=%20\mathbb%20P(X%20=%20k)=%20e^{-\lambda}\frac{\lambda%20^k}{k!}\,
  • la loi binomiale négative
Enfin,, si http://latex.codecogs.com/gif.latex?X suit une loi http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20BN(r,p)
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=%20\mathbb%20P(X%20=%20k)=%20%20\frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,q^k%20\!

Dans ce cas,

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20\mathbb%20E(X%20)=%20\frac{r(1-p)}{p}\!

et

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20\text{Var}(X%20)=%20\frac{r(1-p)}{p^2}\!

La fonction génératrice des moments est alors

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20M_{X}(t)=%20\mathbb{E}(e^{tX})=%20\left(\frac{p}{1-[1-p]%20e^t}\right)^r%20\!

Je remettrais la semaine prochaine les lois continues les plus usuelles. Demain, soit on attaque cette nouvelle série, soit on revient sur des exercices de la semaine passée qui auraient posé problème...

Monday, October 8 2012

Actuariat 1, éléments de correction, cours 1

Suite à plusieurs demandes, je mets en ligne la correction des choix multiples, des exercices en ligne ici

  A B C D E
1 x        
2   x      
3   x      
4     x    
5         x
6       x  
7         x
8   x      
9 x        
10     x    
11     x    
12         x
13         x
14       x  
15         x
16 x        
17 x        
18   x      
19       x  
20 x        
21         x
22         x
23     x    
24         x
25 x        
26         x
27     x    
28 x        
29         x
30   x      
31         x
32       x  
33     x    
34     x    
35 x        
36   x      
37     x    
38         x
39       x  
40     x    
41       x  
42   x      
43       x  
44         x
45     x    
46 x        
47 x        
48 x        
49   x      
50   x      
51 x        
52     x    
53         x
54     x    
55         x
56     x    
57   x      
58   x      
59     x    
60   x      
61     x    
62 x        
63   x      
64 x        
65 x        
66       x  
67   x      
68         x
69         x
70     x    
71 x        
72       x  
73 x        
74         x
75         x
76         x
77   x      
78   x      
79     x    
80     x    
81     x    
82       x  
83     x    
84 x        
85       x  
86   x      
87   x      
88 x        
89   x      
90   x      

Je n'ai pas prévu de taper de correction, par contre, on peut faire en cours des exercices qui paraitraient obscurs.

Monday, October 1 2012

Actuariat 1, ACT2121, premier cours

Le premier cours de l'automne d'ACT2121 actuariat I  aura lieu lundi après midi, au local SH3220. Comme il s'agit de préparer l'examen P de la SOA, nous allons passer les séances à faire des exercices. Le plan de cours sera mis en ligne prochainement. L'ouvrage de référence est le livre de Jacques Labelle, exercices de probabilités appliquées. A chaque séance, je proposerai une série de 90 exercices, et on en fera autant que possible (dans les conditions de l'examen, avec préparation de 6 minutes par exercices). Pour la première séance, les exercices sont en ligne,

Je rajouterai au fur et à mesure des compléments de cours, voire des corrections, au fur et à mesure...