Hier, j'ai été un peu surpris quand un ancien collègue en France m'a parlé d'une interview exclusive (de moi) sur http://argusdelassurance.com/.... Puis je me suis souvenu qu'il y a quelques semaines, Madeleine m'avait contacter pour me poser quelques questions sur les assurance « à la carte », et la plus grande modularité des produits. Elle avait mis le doigt sur deux questions importantes, "comment procéder au calcul quand les offres sont personnalisées" et "est-ce intéressant pour l'assureur, pour l’assureur" ? Pour la première partie, c'est technique, et ça correspond à ce qu'on fait dans les cours de tarification (on en reparle dans quelques semaines, promis). Par contre le second point est plus troublant. Avec la théorie économique d'un côté, et les principes d'antisélection et d'aléa moral, mais qui insiste sur la nécessité, et pas l'intérêt de la segmentation... Afin de partager mon point de vue sur ces problèmes, j'avais voulu reprendre simplement un modèle qu'on avait utilisé dans le livre avec Michel Denuit (tome 1). Cet exemple nécessite un peu de formalisation, et j'ai été très surpris de voir que Madeleine l'avait gardé. Mieux, qu'elle l'avait clarifié (il faut dire qu'elle m'avait demandé un courriel en fin de journée, et que j'avais tapé ça rapidement, tout en faisant les devoirs des grands, et le bain de la plus petite... quand je relis ce que j'avais envoyé, et ce qu'elle en a fait, je suis admiratif). Mais prenons deux minutes pour reformuler cette histoire de segmentation d'un marché de l'assurance...

Commençons par le cas le plus simple, sans segmentation, avec mutualisation parfaite (et donc prime unique). En utilisant un principe de prime pure, si http://latex.codecogs.com/gif.latex?S désigne la perte (aléatoire) pour les assurés, la prime à payer serait http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S). Et dans ce cas, en moyenne, le bilan de l'assureur serait équilibré, car http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S-\mathbb{E}(S))=0. Si on regarde l'incertitude associée aux dépenses (disons la variance pour faire simple), les assurés n'ont aucune variance car la dépense est la même pour tous. Tout le risque (la variance) est à la charge de l'assureur. On peut résumer ça dans le petit tableau suivant,


Assurés
Assureur
Dépense

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?S-\mathbb{E}(S)

Dépense moyenne

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?0
Variance
http://latex.codecogs.com/gif.latex?0

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(S)

On a ici la répartition des dépenses et du risque (que nous appellerons variance, à la Markowitz) entre l'assureur et les assurés assez simple, et on a un mécanisme de transfert des risques pur.

Continuons dans un monde parfait (disons avec information parfaite) mais avec cette fois de la segmentation (parfaite). Autrement dit, si la variable de risque est un variable http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega, connue par l'assureur, alors il devrait faire payer http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S|\Omega) pour un assuré portant le risque http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega. Cette fois, la décomposition des dépenses et des risques se fait de la manière suivante


Assurés
Assureur
Dépense

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S|\Omega)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?S-\mathbb{E}(S)

Dépense moyenne

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?0
Variance

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(\mathbb{E}(S|\Omega))

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(S-\mathbb{E}(S|\Omega))

Cette fois, l'assureur prend à sa charge la composante des risques purement aléatoire, mais les assurés prennent à leur charge une partie de la variabilité, correspondant à l'hétérogénéité du portefeuille. On notera que la variance de l'assureur est ici http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(\text{Var}(S|\Omega)): on retrouve ici la formule classique de décomposition de la variance

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(\mathbb{E}(S|\Omega))+\mathbb{E}(\text{Var}(S|\Omega))=\text{Var}(S)

On a ici une première composante qui repose sur les assurés, et la seconde sur les assureurs. C'est d'ailleurs le théorème de Pythagore, avec la variance liée à l'hétérogénéité à gauche, et à droite, la composante purement aléatoire.

Mais dans la vraie vie http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega (le risque intrinsèque de l'assuré) n'est pas connu. On doit faire une segmentation imparfaite: on dispose de quelques variables explicatives, que l'on notera par un vecteur http://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol{X}, et on va essayer de construire un proxy de la variable de risque http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega (c'est le but des méthodes économétriques appliquées en tarification). La décomposition entre l'assureur et ses assurés se fait de la manière suivante


Assurés
Assureur
Dépense

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X})

http://latex.codecogs.com/gif.latex?S-\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X})

Dépense moyenne

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?0
Variance

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X}))

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(\text{Var}(S|\boldsymbol{X}))

qui correspond à la décomposition précédente, en remplaçant la variable non-observée http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega par le proxy construit à partir de http://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol{X}.   Là encore, en moyenne, l'assureur est à l'équilibre, car

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X}))=\mathbb{E}(S)

autrement dit segmenter n'a pas de conséquence, en moyenne, sur le résultat de l'assureur. Par contre, la variance de l'assureur est ici

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(\text{Var}(S|\boldsymbol{X}))=\mathbb{E}(\text{Var}(S|\Omega))+\mathbb{E}(\text{Var}(\mathbb{E}(S|\Omega)|\boldsymbol{X}))

et la variance total du portefeuille est alors la somme

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X}))+\mathbb{E}(\text{Var}(S|\Omega))+\mathbb{E}(\text{Var}(\mathbb{E}(S|\Omega)|\boldsymbol{X}))

avec à gauche, un terme lié à la segmentation, au centre le hasard, et à droite, un terme de solidarité entre assuré (qu'on pourrait appeler de mutualisation), lié au fait que le risque n'est que partiellement assurable. C'est la mutualisation résiduelle qui peut exister en assurance santé si on exclue les tests génétiques: à partir de quelles variables explicatives http://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol{X}, on peut inférer le risque de maladie, mais moins que si des tests génétiques permettaient d'approcher http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega avec une plus grande précision... Autrement dit, segmenter imparfaitement, ou partiellement, permet de maintenir un effet de mutualisation dans le portefeuille.... de faire de l'assurance en quelque sorte...