L'autre jour, quelqu'un me félicitait pour mon blog, c'était une étudiante en maths, qui disait comprendre certaines choses en probas et en stats (entre autres sur les applications possibles).... mais pour la théorie des groupes, elle ne voyait toujours pas d'intérêt...
J'étais bien entendu ravi que mon blog serve à quelque chose, mais en fait la théorie des groupes peut avoir des applications amusantes (bon, tout  dépend aussi de ses centres d'amusement). Par exemple MacGyver pourrait avoir eu besoin de connaître des résultats sur les groupes pour sortir des prisonniers des geôles afghanes...

Considérons le gardien de prison sadique qui annonce le "jeu" suivant (Anatole, un collègue ici me l'avait suggéré l'autre jour en me mettant au défi de trouver une solution.... mais faut pas pousser, je suis plus fort que MacGyver ! bon, et il faut dire que le jeu est classique...on le trouve expliqué ici ou ):
Tous les prisonniers (disons qu'ils sont 20) se voient attribuer un numéro, entre 1 et 20. Le premier prisonnier est appelé et se retrouve face à  20 portes, derrière lesquelles sont cachés des numéros (allant de 1 à 20 là encore). Il a droit d'en ouvrir 10 (au maximum) et il doit retrouver son numéro. S'il n'y arrive pas,tous les prisonniers sont exécutés (lui compris). S'il y arrive, il n'est pas sauvé pour autant car le commandant appelle le second prisonnier, qui se retrouve à son tour devant les 20 portes, et doit trouver son numéro... Etc.
Les prisonniers commencent à paniquer, car tout le monde doit trouver son numéro pour être sauvé. En raisonnant rapidement, un des prisonniers explique qu'un seul prisonnier aurait 50% de chances d'y arriver. Avec deux, comme ils ont tous les deux 50% de chances, on tombe à 25%, etc. Avec n prisonniers, on est à 1/2n, qui est de l'ordre d'une chance sur un million avec 20 prisonniers.... Et qu'ils ont de la chance de n'être que 20 ! Avec 30 prisonniers, ils auraient une chance sur un milliard de s'en sortir (ce qui est faible, on en conviendra).
Mais MacGyver, qui avait pris le cours Théorie des Groupes 101 à l'université (et qui avait R installé dans sa montre digitale) dit
  • pas du tout, j'ai une stratégie qui nous donne environ une chance sur trois de tous s'en sortir (vu comme ça c'est pas terrible, mais par rapport à 1 chance sur un milliard, c'est vachement bien),
  • et accessoirement, cette probabilité ne dépend pas du nombre de prisonnier (tant que l'on puisse ouvrir moitié moins de portes qu'il y a de prisonniers)
Bon, sur le moment, les autres prisonniers se fichent du fait que même s'ils étaient 1000 ils auraient une chance sur trois de survivre, ils veulent comprendre la stratégie de Mac...
La stratégie est simple: chacun ouvre la porte associée à son numéro. Ensuite, il ouvre la porte indiquée sur le papier dernière la porte ouverte.
Car comme le rappelle Mac, le commandant ne fait que choisir une permutation de http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/prison99.png, même s'il est sadique (ou parce qu'il est sadique, les profs de maths sont sadiques, tout le monde sait ça). Et toute permutation peut se décomposer en un produit ds combinaisons cycliques (on parle de la décomposition en produit de cycles à supports disjoints, c'est un truc utilise je crois pour les amateurs de Rubik's cube),
Par exemple, considérons la permutation suivante (c'est la première que j'ai eu sous R),
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/prison01.png
Elle se décompose en 5 permutations cycliques
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/prison02.png
La plus grande est la dernière, et elle permute sur 7 nombres. Autrement dit, si chacun utilise cette stratégie, il ouvrira au plus 7 portes. Le point important est qu'ils ne peuvent pas être pris dans une autre permutation que la leur, car ils ont pris leur porte, donc au pire, il tire le numéro de la première porte qu'ils ont ouvert... qui est le numéro qu'ils doivent tirer pour survivre ! Regardons sur notre exemple
> set.seed(1)
> portes = sample(1:n,size=n,replace=FALSE)
>  prisonnier=1
>  essai = c(prisonnier)
>  nessai = 1
>  i = porte[prisonnier]
>  while(nessai <= 50) {
+  essai = c(essai, i) 
+  if(i == prisonnier) {
+  cat("Le prisonnier", prisonnier, "a ouvert", nessai, "portes\n")
+  break; }
+  else {
+  i = porte[i]}
+ n essai =n essai+1 }
Le prisonnier 1 a ouvert 4 portes
>  cat("Le prisonnier", prisonnier, "a ouvert les portes suivantes", paste(essai[-length(essai)], collapse=" - "), "\n")
Le prisonnier 1 a ouvert les portes suivantes 1 - 6 - 14 - 10 

soit ici
Le prisonnier 1 a ouvert 4 portes
Le prisonnier 1 a ouvert les portes suivantes 1 - 6 - 14 - 10
Le prisonnier 2 a ouvert 7 portes
Le prisonnier 2 a ouvert les portes suivantes 2 - 8 - 9 - 19 - 18 - 17 - 12
Le prisonnier 3 a ouvert 2 portes
Le prisonnier 3 a ouvert les portes suivantes 3 - 11
Le prisonnier 4 a ouvert 5 portes
Le prisonnier 4 a ouvert les portes suivantes 4 - 16 - 7 - 15 - 5
Le prisonnier 5 a ouvert 5 portes
Le prisonnier 5 a ouvert les portes suivantes 5 - 4 - 16 - 7 - 15
Le prisonnier 6 a ouvert 4 portes
Le prisonnier 6 a ouvert les portes suivantes 6 - 14 - 10 - 1
Le prisonnier 7 a ouvert 5 portes
Le prisonnier 7 a ouvert les portes suivantes 7 - 15 - 5 - 4 - 16
Le prisonnier 8 a ouvert 7 portes
Le prisonnier 8 a ouvert les portes suivantes 8 - 9 - 19 - 18 - 17 - 12 - 2
Le prisonnier 9 a ouvert 7 portes
Le prisonnier 9 a ouvert les portes suivantes 9 - 19 - 18 - 17 - 12 - 2 - 8
Le prisonnier 10 a ouvert 4 portes
Le prisonnier 10 a ouvert les portes suivantes 10 - 1 - 6 - 14
Le prisonnier 11 a ouvert 2 portes
Le prisonnier 11 a ouvert les portes suivantes 11 - 3
Le prisonnier 12 a ouvert 7 portes
Le prisonnier 12 a ouvert les portes suivantes 12 - 2 - 8 - 9 - 19 - 18 - 17
Le prisonnier 13 a ouvert 2 portes
Le prisonnier 13 a ouvert les portes suivantes 13 - 20
Le prisonnier 14 a ouvert 4 portes
Le prisonnier 14 a ouvert les portes suivantes 14 - 10 - 1 - 6
Le prisonnier 15 a ouvert 5 portes
Le prisonnier 15 a ouvert les portes suivantes 15 - 5 - 4 - 16 - 7
Le prisonnier 16 a ouvert 5 portes
Le prisonnier 16 a ouvert les portes suivantes 16 - 7 - 15 - 5 - 4
Le prisonnier 17 a ouvert 7 portes
Le prisonnier 17 a ouvert les portes suivantes 17 - 12 - 2 - 8 - 9 - 19 - 18
Le prisonnier 18 a ouvert 7 portes
Le prisonnier 18 a ouvert les portes suivantes 18 - 17 - 12 - 2 - 8 - 9 - 19
Le prisonnier 19 a ouvert 7 portes
Le prisonnier 19 a ouvert les portes suivantes 19 - 18 - 17 - 12 - 2 - 8 - 9
Le prisonnier 20 a ouvert 2 portes
Le prisonnier 20 a ouvert les portes suivantes 20 - 13
En adaptant un code développé ici par Matt Asher, on peut d'ailleurs visualiser tout ça sur un petit dessin,
Bref, la grande question est "quelle est la probabilité que la plus grande sous permutation cyclique soit sur un ensemble de taille supérieure à 10" ? On peut faire un peu de Monte Carlo pour voir.... c'est ce que fait Matt. Mais sinon on peut aussi faire du dénombrement (ce qui est pareil que les probas). Le nombre de permutations contenant un cycle de longueur supérieure à 10 (strictement) se calcule de la manière suivante: soit k la taille du cycle, alors je peux choisir les http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/prison00.png nombres de http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/prison03.png  manières. Il y a alors http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/prison04.png permutations circulaires de ces k nombres, et on permute les http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/prison05.png nombres qui reste comme on veut, ce qui donne http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/prison06.png possibilités. Bref, j'en suis à
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/prison07.png
permutations ayant un cycle de longueur k, soit en tout,
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/prison0_.png
Or comme on a en tout http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/prison08.png permutations possibles, la probabilité de s'en sortir vivant est
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/prison09.png
Et là où Mac est fort, c'est qu'effectivement, avec n prisonniers
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/prison10.png
Soit environ 30% de chances de s'en sortir....
Moralité, la théorie des groupes peut être marrante et intéressante.... Bon, c'est la seule application à la vraie vie qui me vient à l'esprit, et à moins d'être enfermé en prison avec un geôlier sadique, c'est dur de trouver des applications. N'empêche que la solution est passionnante (mais MacGyver a toujours été mon héros pour ça...)