Freakonometrics

Au lieu de faire une réponse au commentaire sur les PM (ici), je vais faire un billet. La question était "cettte  provision correspond elle à la PM zillmérisée. Si non, comment la calcule-t-on ? ". Finalement, ça correspond aussi à la suite du billet d'hier sur les termes actuariels (ici). Avant de parler de la PM, il faut revenir un peu davantage sur les primes, et distinguer la prime pure (que l'on a évoquée jusqu'à présent) et la prime commerciale. Ensuite seulement, on pourra parler des calculs de PM.

• Primes pure et commerciale

Jusqu'à présent, je n'ai pas parlé des frais de gestion ou des frais d'acquisition. Dans le second cas, il s'agit des dépenses engagées pour établir la police, et rémunérer l'agent qui rapporte le contrat. Dans le premier cas, il faut distinguer les frais durant la période où il faut encaisser les primes (période 1), et les frais durant la période où il faut garantir un paiement à l'assuré (période 2). Au cours de la première période, on trouvera les frais d'établissement des quittances, par exemple. Les deux peuvent bien entendu coïncider, auquel cas les frais s'additionne. On supposera que les frais sont proportionnels aux capitaux garantis. On peut aussi supposer qu'il y a des frais de prime commerciale (proportionnels à la prime pure)
Sous ces hypothèses, pour calculer la prime chargée (ou prime commerciale) de l'assuré, on suppose que la valeur actuelle probable des engagements de l'assuré est égale à la valeur actuelle probable des engagements de l'assureur, à laquelle on ajoute la valeur actuelle probable des frais de gestion.
Si on considère un prime unique, on a quelque chose comme
où  désigne la prime commerciale unique,  désignent les frais d'acquisition,  correspond aux frais de gestion des engagements de l'assureur (il n'y a pas de  car la prime est versée au début, en une seule fois), l'annuité associée à la garantie proposée par l'assureur (i.e. avec un capital garanti de 1) et r les chargements sur la prime. On suppose ici que tout est payé en début d'année, histoire de simplifier...
Pour une prime annuelle, en notant en minuscule les primes annuelles, et  l'annuité associée aux engagements de l'assuré (i.e. payer sa prime annuellement tant qu'il est en vie pendant une période prédéterminée),
soit encore
Pour compliquer un peu les choses, notons qu'il existe une contre-assurance de cette prime commerciale.En effet, certains contrats d'assurance en cas de vie (disons de la retraite pour fixer les choses) où une garantie prévoie un remboursement des primes commerciales versées en cas de décès de l'assuré avant le début de la retraite. Toujours pour fixer les choses, considérons une assurance de capital différé, de durée , souscrite à l'âge . Comme auparavant, on note  la prime unique commerciale contenant cette contre assurance, de telle sorte que
La valeur actuelle probable de la contre-assurance correspond à l'annuité d'une assurance temporaire décès de  années, i.e.
qui peut s'écrire
soit
Si l'on considère une prime annuelle, payée tout au long des n années, on a quelque chose de la forme
où pour rappel (je renvoie au cours à ce sujet)  désigne une assurance temporaire décès dont le capital croît d'une unité chaque année, ce qui donne
Ce n'est pas forcément joli, mais comme toujours en actuariat de l'assurance-vie, il suffit d'écrire les choses calmement pour retomber sur des notions qui ont été prédéfinies.

• PM pure, d'inventaire ou zillmérisée

De la même façon qu'il existe plusieurs formes de chargements et de frais pour les prime, il existera plusieurs sortes de provisions mathématiques. Telle que je l'ai présentée, i.e. différence entre la valeur actuelle probable des engagements de l'assureur, et la valeur actuelle probable des engagements de l'assuré (des primes), il s'agit de la provision mathématique pure. Pour un contrat souscrit à l'age x, et vu après k années, je l'avais notée  (c'est la notation officielle). Mais ce n'est pas ce que la réglementation demande de calculer.
"Les provisions mathématiques constituées par les entreprises d'assurance-vie et de capitalisation sont calculées en tenant compte, dans la détermination de l'engagement de l'assuré ou du souscripteur, de la partie des primes devant être versée par l'intéressé et représentative des frais d'acquisition du contrat, lorsque ces frais ont été portés en charge déductible par l'entreprise avant la fin de l'exercice à la clôture duquel la provision est constituée." (Article L331-1 du Code des Assurance, ici)
L'idée est qu'une fois la période de paiement de la prime (voire dès le début en cas de prime unique), la PM pure ne sera pas suffisante, l'assureur ayant davantage de frais.
Il va falloir prendre en compte différentes sortes de frais ou de chargements (évoqués auparavant). Le cas le plus simple est celui des chargements dits de règlement: si pour payer 1€ de prestation, cela coûte € à l'assureur, la prime annuelle payée par l'assureur doit être multipliée par (de telle sorte que les VAP initiale soient égales). Dans ce cas, un rapide calcul montre que la PM doit être multipliée par  également (les engagements de part et d'autre sont multipliés par ce même facteur).
Bon, pour les frais de gestion, c'est un peu plus compliqué. Si on reprend ce qui a été fait ici, on peut montrer que la différence entre  les VAP donne une provision de la forme suivante
si la durée de paiement des primes était initialement , et que  est la durée de la garantie. Si =, il n'y a alors pas de provision de gestion, le second terme étant nul. Cette provision existe dès lors que  (ce qui arrive au final assez souvent me semble-t-il). On arrive ainsi à la provision d'inventaire, qui est souvent notée . Mais ce n'est pas fini, il y a aussi les frais d'acquisition. Généralement, ces frais sont occasionnés à la signature du contrat, puis amori tout au long de la durée du contrat, via un chargement (constant) sur la prime. Aussi,
On pose alors
On baisse ainsi la PM en prenant en compte les chargements pour frais d'acquisition. Cette méthode où l'on prend en compte la valeur actuelle des frais d'acquisition dans que la PM est positive s'appelle la zillmérisation.
Voilà en gros ce que j'ai compris (je suis loin d'être un expert sur le sujet).... Car pour ceux qui en douteraient encore, l'assurance-vie n'est pas du tout mon domaine de prédilection. Promis, c'est mon avant dernier billet sur les PM (le dernier étant une ébauche de correction pour le devoir maison... mais on attendra que tout le monde l'ait rendu). Maintenant s'il y en a qui ont des compléments ou des corrections à apporter, je suis preneur ! Je peux toutefois renvoyer à un billet de Cimon sur le sujet il y a quelque temps maintenant, ici. Pour les historiens, je renvoie en revanche à une traduction (en anglais) du papier d'August Zillmer présentant cette méthode, datant de 1863 (là) !