
Tous les blogs économiques saluent la parution en poche du joli
petit livre de Daniel Zajdenweber, Economie des Extrêmes. En
particulier, beaucoup de monde salue ce livre qui explique simplement
des choses complexes.... Par exemple Alexandre dès 2001 "
Passé
le premier chapitre, un peu ardu, et qui nécessite du lecteur des
connaissances de base en statistique et probabilités (notion de lois de
probabilité, d'espérance, de variance...) qui décrit en termes
littéraires les caractéristiques de ces lois, l'auteur applique ces
résultats à un grand nombre de phénomènes concrets, et en tire les
conséquences". Mais peut-on parler d'économie des extrêmes sans être technique ?
Histoire
que mon message ne soit pas déformé, je trouve passionnant ce petit
livre introductif à la problématique des risques extrêmes (qui est un
de mes dadas depuis quelques années) mais j'espère qu'il servira
d'encouragement à une lecture d'ouvrages plus détaillés sur le sujet.
Car la vulgarisation a des limites que l'on atteint vite quand on parle
de sujets aussi complexes.

L'exemple
que j'ai le plus étudié
est celui des sinistres de perte d'exploitation (longuement évoqué par
Daniel Zajdenweber dans son livre). Il y a quelques années j'avais
utilisé cette partie du livre comme base pour faire un sujet d'examen
pour le cours de "
réassurance et grands risques" que je donnais alors à l'ENSAE
1. Et malheureusement,
mes compétences littéraires sont très limitées, donc je vais faire des
maths. Dans le livre, la figure suivante est présentée,

qui correspond effectivement à la fonction tracée dès 1925 par Karl Gustav Hagstroem (j'avais souligné (
ici)
ses travaux précurseurs où l'intérêt de la loi de Pareto pour modéliser
les très grands riques apparaissait pour la première fois). C'est en
effet assez naturel: si on a une loi de Pareto, i.e.
alors on pourrait écrire, en passant au logarithme
Si on représente la version empirique, c'est à dire le nuage de points
alors
pour une loi de Pareto, les points devraient être alignés suivant une
droite, et la pente doit correspondre au paramètre de la fonction
puissance. C'est visiblement l'idée exploitée ici.

Autrement
dit, les pointillés ne sont un intervalle de confiance, mais juste un
outils graphique pour se demander si la pente vaut 1, ou pas. Daniel
Zajdenweber affirme que la pente doit ici être -1.

Le
fait que la valeur soit unitaire ou pas a en effet un impact très
important en terme d'assurabilité du risque de perte d'exploitation.
Rappelons que pour une variable positive (et c'est le cas ici). Et si
on a une telle loi de Pareto (de puissance unitaire), alors la prime
pure d'un traité de réassurance, couvrant entre m et M s'écrit
soit
ce qui correspond aux calculs de Daniel Zajdenweber... Mais encore une fois "
l'absence d'espérance mathématique de la distribution des sinistres" est une conclusion très forte sur laquelle on peut essayer de revenir.
aussi ici
autrement dit, l'espérance est finie si la pente est
strictement
plus grande (en valeur absolue) que 1. Si la pente est inférieure (ou
égale) à 1, le risque n'est pas assurable ! Ce qui est une conclusion
très très forte pour les assureurs.
J'ai donc demandé à la FFSA la base de données utilisée ici, et pour
éviter des problèmes d'inflation des coûts de sinistres entre 1992 et
2000. Si je prends tous les sinsitres, on obtient l'ajustement de Pareto suivant

soit une pente (en valeur absolue de 1.47). Mais encore une fois, l'ajustement de Pareto se fait sur les
grands sinistres. Hill a proposé un estimateur très populaire pour estimer ce coefficient, où on ne prend en compte que les
k
observations les plus grandes, et on regarde l'estimation de la pente
du graphique de Pareto pour ces quelques valeurs. On représente alors
l'estimation en fonction du nombre de
grands sinistres, ou du seuil définissant les graphs sinistres. Numériquement, en posant
on peut écrire comme estimateur de la pente
soit, en simplifiant le numérateur,
tel que l'a construit Hill en 1975. Graphiquement, on a ici

Bref, la question est ce savoir si on atteint la valeur 1 pour les
grands sinistres. Graphiquement, on a malgré tout envie de rejeter cette hypothèse.
Une
solution peut être de faire un test statistique, basé sur de ratio de
vraisemblance, comme le suggèrent Reiss & Thomas (2001) or Coles
(2001). En fait, on peut même utiliser d'autres estimateurs que celui
de Hill, comme celui obtenu en faisant un ajustement de loi GPD (
Pareto généralisée) sur la loi des Excès, ou une loi GEV sur des maximas par blocs (
Generalized Extreme Value). On introduit alors la statistique de test suivante
et on regarde les
p-value (ainsi que la correction de Bartlett à droite),

On
peut aussi, plus simplement, estimer plusieurs coefficients de pentes
pour des seuils différents, et regarder la borne supérieure de
l'intervalle de confiance,

Bref,
même si avec un des ajustements de loi GPD on hésite à retenir une
pente unitaire, la plupart des tests rejettent cette hypothèse, et donc
le risque de perte d'exploitation semble être assurable, d'espérance
mathématique finie. Bref, les dessins c'est très bien pour faire passer
une idée, mais ne retenir que ça pour en tirer des conclusions aussi
fortes me laisser sceptique....