Suite du billet (ici) sur le provisionnement en assurance dommage. On sait depuis le papier d'England et Verrall (1994) que la régression log-Poisson coïncide avec la méthode Chain-Ladder, en tous les cas en moyenne (on peut aller jeter un oeil ici pour les arguments théoriques). Pour les sceptiques, je renvoie au code suivant.
> library(ChainLadder)
>  an <- 10; ligne = rep(1:an, each=an); colonne = rep(1:an, an)
>  passe = (ligne + colonne - 1)<=an; n = sum(passe)
>  PAID=GenIns; INC=PAID
>  INC[,2:an]=PAID[,2:an]-PAID[,1:(an-1)]
>  Y = as.vector(INC)
>  lig = as.factor(ligne)
>  col = as.factor(colonne)
>  base = data.frame(Y,col,lig)
> reg=glm(Y~col+lig,data=base,family="poisson")
> sum(exp(predict(reg,newdata=base))[passe!=TRUE])
[1] 18680856
On peut vérifier avec la fonction MackChainLadder de library(ChainLadder), i.e.
> MackChainLadder(GenIns)
MackChainLadder(Triangle = GenIns)
      Latest Dev.To.Date  Ultimate      IBNR  Mack.S.E CV(IBNR)
1  3,901,463      1.0000 3,901,463         0         0      NaN
2  5,339,085      0.9826 5,433,719    94,634    71,835    0.759
3  4,909,315      0.9127 5,378,826   469,511   119,474    0.254
4  4,588,268      0.8661 5,297,906   709,638   131,573    0.185
5  3,873,311      0.7973 4,858,200   984,889   260,530    0.265
6  3,691,712      0.7223 5,111,171 1,419,459   410,407    0.289
7  3,483,130      0.6153 5,660,771 2,177,641   557,796    0.256
8  2,864,498      0.4222 6,784,799 3,920,301   874,882    0.223
9  1,363,294      0.2416 5,642,266 4,278,972   970,960    0.227
10   344,014      0.0692 4,969,825 4,625,811 1,362,981    0.295
                  Totals
Latest:    34,358,090.00
Ultimate:  53,038,945.61
IBNR:      18,680,855.61
Mack S.E.:  2,441,364.13
CV(IBNR):           0.13
Bref, les deux  coïncident. Tout en étant fondamentalement très différents, comme l'avait noté Mack et Venter (2000). Mais que se passe-t-il si on ne dispose pas d'un triangle de données, mais d'un losange (par exemple en enlevant les 6 données du coin en haut à gauche).
> M=GenIns
> M[1,1:3]=NA
> M[2,1:2]=NA
> M[3,1]=NA
>  an <- 10; ligne = rep(1:an, each=an); colonne = rep(1:an, an)
>  passe = (ligne + colonne - 1)<=an; n = sum(passe)
>  PAID=M; INC=PAID
>  INC[,2:an]=PAID[,2:an]-PAID[,1:(an-1)]
>  Y = as.vector(INC)
>  lig = as.factor(ligne)
>  col = as.factor(colonne)
>  base = data.frame(Y,col,lig)
> reg=glm(Y~col+lig,data=base,family="poisson")
> sum(exp(predict(reg,newdata=base))[passe!=TRUE])
[1] 17810100
Le montant de provision est ici inférieur au montant obtenu par Chain Ladder (et qui est correct pour avoir refait les calculs),
> MackChainLadder(M)
MackChainLadder(Triangle = M)
      Latest Dev.To.Date  Ultimate      IBNR  Mack.S.E CV(IBNR)
1  3,901,463      1.0000 3,901,463         0         0      NaN
2  5,339,085      0.9826 5,433,719    94,634    69,796    0.738
3  4,909,315      0.9127 5,378,826   469,511   118,278    0.252
4  4,588,268      0.8661 5,297,906   709,638   130,514    0.184
5  3,873,311      0.7973 4,858,200   984,889   260,065    0.264
6  3,691,712      0.7223 5,111,171 1,419,459   410,087    0.289
7  3,483,130      0.6153 5,660,771 2,177,641   557,519    0.256
8  2,864,498      0.4155 6,893,493 4,028,995   861,372    0.214
9  1,363,294      0.2341 5,824,117 4,460,823   998,750    0.224
10   344,014      0.0684 5,028,331 4,684,317 1,492,354    0.319
                  Totals
Latest:    34,358,090.00
Ultimate:  53,387,997.33
IBNR:      19,029,907.33
Mack S.E.:  2,533,277.54
CV(IBNR):           0.13
Bref, si l'on ne dispose que de données incomplètes, il faut faire attention quand on fait une régression log-Poisson...