A few years ago, I went to listen to Roger Nelsen who was giving a talk about copulas with fractal support. Roger is amazing when he gives a talk (I am also a huge fan of his books, and articles), and I really wanted to play with that concept (that he did publish later on, with Gregory Fredricks and José Antonio Rodriguez-Lallena). I did mention that idea in a paper, writen with Alessandro Juri, just to mention some cases where deriving fixed point theorems is not that simple (since the limit may not exist).
The idea in the initial article was to start with something quite simple, a the so-called transformation matrix, e.g.
Here, in all areas with mass, we spread it uniformly (say), i.e. the support of
Then the idea, then, is to consider , where
is the tensor product (also called Kronecker product) of
with itself. Here, the support of
is
> k=4 > M=matrix(c(1,0,0,1, + 0,1,1,0, + 0,1,1,0, + 1,0,0,1),k,k) > M [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 1 0 0 1 [2,] 0 1 1 0 [3,] 0 1 1 0 [4,] 1 0 0 1Once we have it, we just consider the Kronecker product of this matrix with itself, which yields a
> N=kronecker(M,M) > N[,1:4] [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 1 0 0 1 [2,] 0 1 1 0 [3,] 0 1 1 0 [4,] 1 0 0 1 [5,] 0 0 0 0 [6,] 0 0 0 0 [7,] 0 0 0 0 [8,] 0 0 0 0 [9,] 0 0 0 0 [10,] 0 0 0 0 [11,] 0 0 0 0 [12,] 0 0 0 0 [13,] 1 0 0 1 [14,] 0 1 1 0 [15,] 0 1 1 0 [16,] 1 0 0 1And then, we continue,
> for(s in 1:3){N=kronecker(N,M)}After only a couple of loops, we have a
> image(N,col=c("white","blue"))As we zoom in, we can visualize this fractal property,
régir le hasard était la loi divine. Bref, il a fallu
attendre le XVIIème et surtout le XVIIIème siècle pour voir arriver le
calcul des probabilités. Étrangement, cela correspond à la naissance des
jeux de cartes. Le plus vieux jeu connu est un jeu chinois, datant de
1400, mais c'est surtout à l'époque de la révolution que les jeux de
cartes se sont popularisés. Les jeux étant plus réguliers que les vieux
dés, les calculs de probabilités étaient alors possibles....
Nous
aborderons ensuite la naissance des tables de mortalités, et de
l'assurance vie, pour finir avec la finance. Pour pouvoir bien
comprendre les problématiques du monde financier, il sera important
de revenir un peu sur la loi normale. Cette loi, souvent appelée loi de
Gauss, a été obtenue par de très nombreux mathématiciens, initiallement
comme limite d'un modèle binomial, visualisé sous la forme d'une "planche de Galton".
Nous verrons comment cette loi s'est imposée dans les modèles
financiers, alors qu'elle ne semble définitivement pas y être à sa
place.... en tous les cas si l'on s'intéresse à des problèmes de
gestion des risques.
Après la publication de l'opuscule ce qui vient à nous, i.e. le premier volet du catalogue de la Biennale d'Art Contemporain (
