Freakonometrics

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Wednesday, October 17 2012

Fractals and Kronecker product

A few years ago, I went to listen to Roger Nelsen who was giving a talk about copulas with fractal support. Roger is amazing when he gives a talk (I am also a huge fan of his books, and articles), and I really wanted to play with that concept (that he did publish later on, with Gregory Fredricks and José Antonio Rodriguez-Lallena). I did mention that idea in a paper, writen with Alessandro Juri, just to mention some cases where deriving fixed point theorems is not that simple (since the limit may not exist).

The idea in the initial article was to start with something quite simple, a the so-called transformation matrix, e.g.

http://latex.codecogs.com/gif.latex?T=\frac{1}{8}\left(\begin{matrix}1&%200%20&%201%20\\%200%20&%204%20&%200%20\\%201%20&%200&1\end{matrix}\right)

Here, in all areas with mass, we spread it uniformly (say), i.e. the support of http://latex.codecogs.com/gif.latex?T(C^\perp) is the one below, i.e. http://latex.codecogs.com/gif.latex?1/8th of the mass is located in each corner, and http://latex.codecogs.com/gif.latex?1/2 is in the center. So if we spread the mass to have a copula (with uniform margin,)we have to consider squares on intervals http://latex.codecogs.com/gif.latex?[0,1/4], http://latex.codecogs.com/gif.latex?[1/4,3/4] and http://latex.codecogs.com/gif.latex?[3/4,1],

Then the idea, then, is to consider http://latex.codecogs.com/gif.latex?T^2=\otimes^2T, where  http://latex.codecogs.com/gif.latex?\otimes^2T is the tensor product (also called Kronecker product) of http://latex.codecogs.com/gif.latex?T with itself. Here, the support of http://latex.codecogs.com/gif.latex?T^2(C^\perp) is

Then, consider http://latex.codecogs.com/gif.latex?T^3=\otimes^3T, where http://latex.codecogs.com/gif.latex?\otimes^3T is the tensor product of http://latex.codecogs.com/gif.latex?T with itself, three times. And the support of http://latex.codecogs.com/gif.latex?T^3(C^\perp) is

Etc. Here, it is computationally extremely simple to do it, using this Kronecker product. Recall that if http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20\mathbf{A}=(a_{i,j}), then

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20\mathbf{A}\otimes\mathbf{B}%20=%20\begin{pmatrix}%20a_{11}%20\mathbf{B}%20&%20\cdots%20&%20a_{1n}\mathbf{B}%20\\%20\vdots%20&%20\ddots%20&%20\vdots%20\\%20a_{m1}%20\mathbf{B}%20&%20\cdots%20&%20a_{mn}%20\mathbf{B}%20\end{pmatrix}

So, we need a transformation matrix: consider the following http://latex.codecogs.com/gif.latex?4\times4 matrix,
> k=4
> M=matrix(c(1,0,0,1,
+            0,1,1,0,
+            0,1,1,0,
+            1,0,0,1),k,k)
> M
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    0    0    1
[2,]    0    1    1    0
[3,]    0    1    1    0
[4,]    1    0    0    1
Once we have it, we just consider the Kronecker product of this matrix with itself, which yields a http://latex.codecogs.com/gif.latex?4^2\times4^2 matrix,
> N=kronecker(M,M)
> N[,1:4]
[,1]  [,2] [,3] [,4]
[1,]     1    0    0    1
[2,]     0    1    1    0
[3,]     0    1    1    0
[4,]     1    0    0    1
[5,]     0    0    0    0
[6,]     0    0    0    0
[7,]     0    0    0    0
[8,]     0    0    0    0
[9,]     0    0    0    0
[10,]    0    0    0    0
[11,]    0    0    0    0
[12,]    0    0    0    0
[13,]    1    0    0    1
[14,]    0    1    1    0
[15,]    0    1    1    0
[16,]    1    0    0    1
And then, we continue,
> for(s in 1:3){N=kronecker(N,M)}
After only a couple of loops, we have a http://latex.codecogs.com/gif.latex?4^5\times4^5 matrix. And we can plot it simply to visualize the support,
> image(N,col=c("white","blue"))
As we zoom in, we can visualize this fractal property,

Sunday, October 14 2012

Les enfants ont (presque) toujours raison...

... et ca en devient pénible ! Hier soir, nous étions allé voir un vernissage, et Peter devait jouer un peu de piano. Le piano était là, dans un coin, et ma fille me regarde et on commence à discuter
 - dis, papa, je peux jouer du piano ?
 - mais tu ne sais pas en jouer...
 - c'est pas grave, je peux jouer en appuyant sur les touches, au hasard...
 - ca ne sera pas très joli, mieux vaut laisser Peter jouer !
 - qu'est-ce que tu en sais d'abord que ca sera pas joli ? je vais pas jouer un truc que tu connais pas, surement, mais ca pourrait etre joli !
 - ... euh...
 - allez papa !
 - tiens ! tu as vu ? ils apportent des biscuits au buffet !
C'est quoi ces enfants qui essayent de remettre en cause la mauvaise foi de leur père ? C'est vrai quoi ! J'avais fait un billet il y a fort longtemps (environ trois ans) sur la peinture aléatoire, et quand on était passé au MoMA, j'avais insisté pour qu'on passe voir les Pollock... Effectivement, j'aime beaucoup la peinture aléatoire !


Mais il y a aussi de la musique aléatoire. On peut penser à Iannis Xenakis (Ιάννις Ξενάκις) même si (contrairement à John Cage, ou des sonates de Pierre Boulez) il y avait des règles et des calculs de probabilités. On pourra d'ailleurs lire Childs (2002) ou Arsenault (2002) sur Achorripsis. J'ai d'ailleurs trouvé un site fabuleux, de Jean-Claude Chirollet sur les arts et les fractales.
Cela dit, pour revenir à la discussion avec ma fille, j'ai fini par céder, et en mettant le volume au minimum, elle a fini par nous faire une superbe interprétation du 4'33" de John Cage !

Tuesday, May 25 2010

L'énigme du modèle

(pour reprendre le titre de l'exposition). J'interviendrais mercredi soir, toujours dans le cadre de la Biennale, dans un débat avec Julien Prévieux (ici) et Olivier Raingeard responsable Stratégies Economiques et Etudes, chez Neuflize OBC investissements. Le but sera d'apporter un éclairage au travail de Julien. A priori mon intervention sera axée autour de deux thèmes. Tout d'abord la difficulté de faire des prévisions, et d'anticiper l'avenir. Ou pour reprendre une expression de Niels Bohr, "prediction is very difficult, especially about the future" (repris par Jacques Chirac au début des années 90). J'illustrerais ce point par une relecture des prévisions faites par les plus grands économistes lors de la crise de 1929. Ensuite, le second thème m'avait été inspiré l'autre jour par la lecture d'un article dans le Canard Enchaîné,

J'ai eu envie de reparler de ce point suite à la discussion que nous avions eu la semaine dernière dans les débats sur les risques émergents, où nous cherchions la limite entre science et science fiction...

Par certains côtés, le high frequency trading ressemble à une histoire de science fiction, du genre "les algorithmes prennent le pouvoir", ou comment se passer d'économistes sur les marchés financiers. Pour simplifier (avec un peu de mauvaise foi, j'en conviens), en faisant tourner des algorithmes sur des ordinateurs super-puissants, on délègue à la machine la décision d'acheter et de vendre des produits financiers, voire en l'occurrence des paquets de produits, sur des intervalles de temps très courts... L'intérêt est que pendant ce temps, les traders (les vrais) ont le temps pour venir lire un peu mon blog ! Il s'agit d'acheter des titres et de les revendre presque instantanément, afin de créer une courte période pendant laquelle les marchés ne sont plus efficients: on peut alors créer un arbitrage. 

Certains font une différence entre le high frequency trading et le flash trading, ou encore high speed trading, mais personnellement j'ai du mal à saisir la nuance... Mais si les arbitragistes ont toujours existé (ce qui légitimait alors l'absence d'opportunité d'arbitrage), cette fois, ce sont les machines qui effectuent artificiellement des arbitrages au lieu de les traquer...
Paul Krugman avait été très critique à ce sujet: "the stock market is supposed to allocate capital to its most productive uses, such as by helping companies with good ideas raise money. It's hard to see, however, how traders who place their orders one-thirtieth of a second faster than anyone else do anything productive" et un peu plus loin "HFT probably degrades the stock market's function, because it's a kind of tax on investors who lack access to super computers and at-exchange connectivity - which means that the money Goldman spends on those computers actually has a negative effect on national wealth" (ici).

Les images utilisées sont en ligne ici ou (enprumté à une présentation de Mathieu Rosenbaum) et le flyer est en ligne ci-dessous,

Tuesday, May 18 2010

known knowns, known unknowns and unknown unknowns

ou l'histoire du quantitative risk management. Mercredi soir, je ferais un exposé lors de la biennale d'art contemporain, au couvent des Jacobins, ici.

L'exposé devrait commencer,  a priori, par une discussion autour de l'origine des probabilités. On commencera par se demander  pourquoi la théorie des probabilités est née aussi tard. Si les jeux de hasard dont très anciens, il a fallu attendre le XVIIIème siècle pour que naisse réellement le calcul des probabilités. Une explication simple peut toutefois être avancée. Quand on pense aux probabilités, on pense aux jeux de dés, ou aux jeux de cartes, qui sont généralement les premiers exemples que l'on introduit au lycée pour parler de probabilités. Or historiquement, les premiers dés (ou encore plus tôt les osselets, et autres astragales) sont mentionnés en Inde, en Egypte mais surtout à Rome.

Or en sciences, la recherche de "loi" signifie que l'on cherche "un rapport immuable entre plusieurs grandeurs". Et s'il nous paraît évident qu'avec un dé, on a 1 chance sur 6 d'obtenir un "4" en le lançant, ce n'était pas vraiment le cas avec ces premiers dés, qui étaient très irréguliers.

Cette particularité physique fait qu'il ne pouvait exister de loi de probabilités. Une autre raison souvent invoquée est que la seule loi qui pouvait régir le hasard était la loi divine. Bref, il a fallu attendre le XVIIème et surtout le XVIIIème siècle pour voir arriver le calcul des probabilités. Étrangement, cela correspond à la naissance des jeux de cartes. Le plus vieux jeu connu est un jeu chinois, datant de 1400, mais c'est surtout à l'époque de la révolution que les jeux de cartes se sont popularisés. Les jeux étant plus réguliers que les vieux dés, les calculs de probabilités étaient alors possibles....
http://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso/galton_gauss.jpgNous aborderons ensuite la naissance des tables de mortalités, et de l'assurance vie, pour finir avec la finance. Pour pouvoir bien comprendre les problématiques du monde financier, il sera important de revenir un peu sur la loi normale. Cette loi, souvent appelée loi de Gauss, a été obtenue par de très nombreux mathématiciens, initiallement comme limite d'un modèle binomial, visualisé sous la forme d'une "planche de Galton". Nous verrons comment cette loi s'est imposée dans les modèles financiers, alors qu'elle ne semble définitivement pas y être à sa place.... en tous les cas si l'on s'intéresse à des problèmes de gestion des risques.
Enfin, l'exposé devrait se terminer sur les blacks swan, et autres unknown unknown, ou comment appréhender des risques pour lesquels on ne dispose pas de probabilités. Nous parlerons alors d'ambiguité, de probabilités subjectives, et de "nouveaux risques".....

Tuesday, April 6 2010

There are known knowns. There are things we know that we know....

Après la publication de l'opuscule ce qui vient à nous, i.e. le premier volet du catalogue de la Biennale d'Art Contemporain (ici), le second opuscule ce qui devient a été mis en ligne voilà 15 jours (ici), et finalement, le troisième - ce qui survient - vient d'être mis en ligne ce week end (). J'en parle parce que Julien Prévieux y a repris une interview que nous avions enregistré il y a quelques semaines, où nous discutions de la gestion des risques, des catastrophes improbables, et de la prédiction du futur en environnement incertain... Une expérience géniale, d'autant plus que Julien a une culture fabuleuse sur ces sujets, et surtout un œil très différents des chercheurs académiques, des étudiants, ou des praticiens de l'assurance ! Les discussions qu'on a pu avoir ont beaucoup nourri ma réflexion sur la prédiction des catastrophes, ceux qui survolent régulièrement le blog ont du s'en rendre compte !

La suite à l'ouverture de la biennale, avec en particulier le travail de Goldin & Senneby....
PS pour les amateurs, la vidéo dont est extrait le titre est en ligne ici,

Tuesday, January 5 2010

Julien Prévieux, ou repenser l'économie

La période est aux pronostics de tous les économistes (pour l'année, voire la décennie 2010), et parfois une relecture de citations passées du style "mais je vous l'avais bien dit". J'ai une passion pour les personnes qui arrivent à se relire eux-mêmes (en se trouvant d'ailleurs très éclairants).
Histoire de dire du bien de quelqu'un qui fait un travail admirable, j'ai rencontré avant les vacances - en vue de préparer la prochaine biennale d'art contemporain de Rennes - Julien Prévieux (ici pour son site). Julien s'est fait connaître il y a quelques années avec ses lettres de non motivation (dont on trouvera des extraits ), et il m'a fait découvrir des choses incroyables lors de nos discussions. Comme le fait que certains fabricants d'écrans tactiles déposaient des brevets sur les mouvements des doigts,

Mais surtout, Julien s'est amusé à utiliser le "code de la bible" (ici, qu'il doit être possible de voir comme la version textuelle de l'analyse chartiste pour les financiers) pour relire les grands économistes classiques. On y retrouve ainsi la crise de 1929 annoncé par Karl Marx,
http://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/JULIEN3.png
ou encore le scandale Enron
http://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/JULIEN4.png
Mais je pense que je referais des billets sur le travail que Julien qui apporte un regarde incroyablement neuf, pertinent et drôle sur l'économie !