Yesterday, I was asked how to write a code to generate a compound Poisson variables, i.e. a series of random variables where
is a counting random variable (here Poisson disributed) and where the
's are i.i.d (and independent of
), with the convention
when
. I came up with the following algorithm, but I was wondering if it was possible to get a better one...
> rcpd=function(n,rN,rX){ + N=rN(n) + X=rX(sum(N)) + I=as.factor(rep(1:n,N)) + S=tapply(X,I,sum) + V=as.numeric(S[as.character(1:n)]) + V[is.na(V)]=0 + return(V)}
Here, consider - to illustrate - the case where and
,
> rN.P=function(n) rpois(n,5) > rX.E=function(n) rexp(n,2)
We can generate a sample
> S=rcpd(1000,rN=rN.P,rX=rX.E)
and check (using simulation) than
> mean(S) [1] 2.547033 > mean(rN.P(1000))*mean(rX.E(1000)) [1] 2.548309
and that
> var(S) [1] 2.60393 > mean(rN.P(1000))*var(rX.E(1000))+ + mean(rX.E(1000))^2*var(rN.P(1000)) [1] 2.621376
If anyone might think of a faster algorithm, I'd be glad to hear about it...
Just a short post to mention the page entitled "What is working as an actuary really like ?" on 
(correspondant à l'apport), on contracte un crédit pour une durée 
,
et on suppose que le taux pour le crédit est 
,
et que le taux d'inflation est 
(la valeur de la maison peut
augmenter dans le temps, mais aussi éventuellement baisser si la valeur de 
, à son actif, le propriétaire possède la maison, d'une valeur 
(ce qu'il touche s'il revend la maison, si l'on oublie les
frais associés); et au passif, il doit rembourser à la banque un
montant 
,
où 
est le montant des remboursement effectues tous
les ans, i.e. solution de
,
On présente généralement la
crédibilité dans sa version dynamique, inspirée
par une lecture bayésienne de mise à jour d'information
(comme je le faisais 
,
et où respectivement,
est la variable caractérisant les groupes. Bref, pour faire des
calculs, il suffit de savoir calculer des variances intra et des
variances inter. De manière formelle, sous R, on pourra utiliser un
code de la forme suivante
On
a commencé en cours la 
et 
sont
des constantes, et où 
est
une constante de normalisation (afin que cette fonction soit
effectivement une mesure de probabilité).
où 
avec 
une fonction strictement croissante. Alors
(la classe de Fréchet), alors
et 
désignent respectivement des version anticomonotone et
comonotone de 
, alors on peut se demander, en considérant une mesure de risque quelconque 
si
est une fonction supermodulaire, i.e.
et 
. Alors dans ce cas, pour tout 
,
et 
, où, pour être plus précis,
quelle que soit la structure de dépendance entre 
et 
, où
.
alors que dans le cas comonotone 
. La figure ci-dessous montre les valeurs possible pour la fonction de répartition de la somme, avec le cas indépendant en 
On peut aussi visualiser les valeurs possibles pour les quantiles de la somme,
Dans un cas général, Ce problème a été traité par Makarov en 1981, et par Frank, Nelsen et Schweizer en 1997 (
désigne la copule anticomonotone (qui est une copule en dimension 2),
, et
Sur le premier pilier, assureurs et réassureurs devront
mesurer les risques, et devront s'assurer qu'ils détiennent
suffisement de capital pour les couvrir. En pratique, le CEIOPS et la
Commission Européenne ont retenu une probabilité de ruine
de 0,5%. Les calculs de capital se font alors de deux manières,
au choix,
Cette formule sort du QIS3, mais on trouve des choses analogues dans Sandström (2004), par exemple,
Avec une contrainte forte sur la forme du SCR, il obtient alors
D'où sort cette formule ? Certains ont tenté des éléments de réponse, par exemple
Ce résultat n'est malheureusement pas très probant car il
n'est jamais rien évoqué sur la dépendance entre
les composantes, ce qui est troublant. Sandstôrm écrit quelque chose de similaire, même si pour lui "normalité" est ici entendu dans un cadre multivarié.
Une explication peut être trouvée dans un papier de Dietmar Pfeiffer et Doreen Straßburger (
Il note, et c'est effectivement l'intuition que l'on avait, que dans un monde Gaussien (multivarié), cette formule marche, aussi bien pour un SCR basé sur la VaR que la TVaR. En particulier, ils citent un livre de Sven Koryciorz, correspondant à sa thèse de doctorat, intitulée "Sicherheitskapitalbestimmung und –allokation in der Schadenversicherung. Eine risikotheoretische Analyse auf der Basis des Value-at-Risk und des Conditional Value-at-Risk", publiée en 2004.
Il est pourtant facile de montrer que ce n'est pas le cas (même si c'est effectivement ce que préconise la "formule standard").
Le graphique ci-dessous montre l'évolution de la VaR d'une somme
de risques corrélés (échangeables) en fonction de
la corrélation sous-jacente: sur cet exemple, les risques
très très corrélés sont moins risqués que des risques moyennement corrélés.
(la loi sous-jacente est une copule de Student). En revanche pour la TVaR, sur le même exemple, la TVaR de la
somme est effectivement une fonction croissante avec la
corrélation,
