Finance - Freakonometrics

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Wednesday, February 17 2010

Etude de la composition du CAC40

By arthur charpentier on Wednesday, February 17 2010, 11:43

cac40

Suite à un commentaire de Jacques (ici), je vais faire un court billet sur le CAC40. Le commentaire posait la question de la constitution d'une base avec tous les titres du CAC... Pour rappel, l'indice CAC40 a beaucoup évolué dans le temps, donc j'ai toujours peur des études temporelles sur les titres qui constituent l'indice (dont on peut retrouver l'histoire ici). Sur les titres qui composent actuellement le CAC, ils sont listés (avec le ticker) là. Par exemple pour le prix de l'action Total,
> x<-get.hist.quote("FP.PA")
essai de l'URL 'http://chart.yahoo.com/table.csv?s=FP.PA&a=0&b=02&c=1991&d=1&e=16&f=2010&g=d&q=q&y=0&z=FP.PA&x=.csv'
Content type 'text/csv' length unknown
URL ouverte
downloaded 88 Kb
time series starts 2003-01-01
ou pour GDF Suez,
> x<-get.hist.quote("GSZ.PA")
essai de l'URL 'http://chart.yahoo.com/table.csv?s=GSZ.PA&a=0&b=02&c=1991&d=1&e=16&f=2010&g=d&q=q&y=0&z=GSZ.PA&x=.csv'
Content type 'text/csv' length unknown
URL ouverte
downloaded 125 Kb
time series starts 2000-01-03
pour le prix de l'action Sanofi,
> x<-get.hist.quote("AVE.PA")
essai de l'URL 'http://chart.yahoo.com/table.csv?s=AVE.PA&a=0&b=02&c=1991&d=1&e=16&f=2010&g=d&q=q&y=0&z=AVE.PA&x=.csv'
Content type 'text/csv' length unknown
URL ouverte
downloaded 87 Kb
time series starts 2003-01-01
time series ends   2010-01-29
Par contre j'ai un petit soucis, à savoir l'arrêt fin janvier.... il faudrait creuser un peu....J'ai mis les codes (et les noms) des entreprises dans un petit fichier csv (ici). Le hic est que les fichiers sont de taille différentes, et qu'il n'y a que 36 entreprises.... mais commençons par ça. Si on fait un merge de séries temporelles, on peut concaténer les séries, en mettant des NA pour les jours sans prix...
> code=read.table("http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/code-CAC.csv",sep=";",header=TRUE)
> code$Nom=as.character(code$Nom)
> code$Code=as.character(code$Code)
> head(code)
    Code             Nom
1 ACA.PA CREDIT AGRICOLE
2 AI.PA     AIR LIQUIDE
3 ALO.PA          ALSTOM
4 ALU.PA ALCATEL-LUCENT
5 BN.PA          DANONE
6 BNP.PA     BNP PARIBAS
> i=1
> X<-get.hist.quote(code$Code[i])
essai de l'URL 'http://chart.yahoo.com/table.csv?s=ACA.PA&a=0&b=02&c=1991&d=1&e=16&f=2010&g=d&q=q&y=0&z=ACA.PA&x=.csv'
Content type 'text/csv' length unknown
URL ouverte
downloaded 100 Kb
time series starts 2001-12-14
> Xc=X$Close
> for(i in 2:36){
+ x<-get.hist.quote(code$Code[i])
+ xc=x$Close # si on veut le prix en cloture
+ Xc=merge(Xc,xc)
> for(i in 2:36){
+ x<-get.hist.quote(code$Code[i])
+ xc=x$Close # si on veut le prix en cloture
+ Xc=merge(Xc,xc)
+ }
essai de l'URL 'http://chart.yahoo.com/table.csv?s=AI.PA&a=0&b=02&c=1991&d=1&e=16&f=2010&g=d&q=q&y=0&z=AI.PA&x=.csv'
Content type 'text/csv' length unknown
URL ouverte
downloaded 87 Kb
time series starts 2003-01-01
essai de l'URL 'http://chart.yahoo.com/table.csv?s=ALO.PA&a=0&b=02&c=1991&d=1&e=16&f=2010&g=d&q=q&y=0&z=ALO.PA&x=.csv'
Content type 'text/csv' length unknown
URL ouverte
downloaded 57 Kb
time series starts 2003-01-01
[...]
essai de l'URL 'http://chart.yahoo.com/table.csv?s=VK.PA&a=0&b=02&c=1991&d=1&e=16&f=2010&g=d&q=q&y=0&z=VK.PA&x=.csv'
Content type 'text/csv' length unknown
URL ouverte
downloaded 89 Kb
time series starts 2003-01-01
> names(Xc)=code$Code
Bref, ça a l'air de marcher...
On peut alors jouer à comparer les corrélations. Le soucis, c'est que dans la base, il y a beaucoup de valeurs manquantes. En fait, sur seulement 345 jours de cotations, tous les titres étaient présents.
> R=diff(log(Xc))
> f=function(x){sum(is.na(x))}
> Ind=apply(R,1,f)
> sum(Ind==0)
[1] 345
On peut alors bricoler pour construire à la main la matrice de corrélation (qui ne supporte pas les valeurs manquantes).
> correlation=matrix(NA,36,36)
> for(i in 1:36){
+ for(j in 1:36){
+   I=(is.na(R[,i])==FALSE)&(is.na(R[,j])==FALSE)
+   correlation[i,j]=cor(R[I,i],R[I,j])
+ }}
On peut enfin visualiser les corrélations sur le graphique suivant,
> colnames(correlation)=code$Code
> rownames(correlation)=code$Code
> library(package="ellipse")
> plotcorr(correlation,cex=.5)

On peut également visualiser les corrélations à l'aide de couleurs, plutôt que des ellipses schématisant la normalité jointe
> library(corrgram)
> corrgram(correlation, order=NULL, lower.panel=panel.shade,
+ upper.panel=NULL, text.panel=panel.txt, main="")

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Friday, February 5 2010

from two to three...

By arthur charpentier on Friday, February 5 2010, 17:18

A short post to give more details about the final remark in the course of Financial Econometrics, and more precisely the formula that can be found in the book of Philip Jorion,

Note that this formula can be found (perhaps written with slight changes) in several papers, e.g. the following sentence (on the http://www.bis.org/ website),

or the following formula, on documents from the Bank of England website,

I recently pulished (in French, here) a paper on the Value-at-Risk, including the following graph,

Usually, three times the average over 60 trading days is the larger component, but during the financial crisis, it turned out that the daily component was almost three times higher than the average value over the past the months (this fact was mention by Paul Embrechts in some conference in Paris on risk measures).
The interpreation of the multiplicative k coefficient (which is from 2 to 3 in some publications, or which exceeds 3 in others) has been proposed in a paper of Gerhard Stahl, entitled three cheers. The idea is to use the Bienaymé-Tchebychev inequality. For random variables with finite variance, then

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-01.png$

Recall that this inequality is simply a corrolary of Markov's inequality

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-02.png$

or for any increasing function $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-99.png$

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-03.png$

(taking function $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-04.png$ , applied to $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-05.png$ ). This upper bound can be far away from the true probability, see e.g. the gaussian case below, i.e. if $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-06.png$ ,

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-07.png$

> z = seq(0,3,by=.01)
> P = 2*dnorm(k)
> U = 1/z^2
> plot(z,P,type="l",lwd=2,col="red",xlab="",ylab="")

The ratio between the two is given below,
> plot(z,U/P,type="l",lwd=2,col="purple",xlab="",ylab="",ylim=c(0,10))

Note that it is possible to interprete the axis values as probabilities values, taking quantiles of the gaussian distribution
> plot(pnorm(z),U/P,type="l",lwd=2,col="purple",xlab="",ylab="",ylim=c(0,10),xlim=c(.9,1))
> abline(h=3,lty=2)

The interpretation is that the upper bound is 3 times higher than the true probability in the Gaussian case when z is the quantile of the $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-06.png$ distribution associated with probability level 99%.
Note that

if z is the 95% quantile of the \mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is 2 (1.92)
if z is the 99% quantile of the \mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is 3 (3.04)
if z is the 99.55% quantile of the \mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is almost 4 (3.88)
if z is the 99.75% quantile of the \mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is 5 (5.04)

A more formal explaination is to assume that X is symmetric, and then

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-09.png$

Thus, if $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-10.png$ , i.e. $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-11.png$ , we have an upper bound for the $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-12.png$ Value-at-Risk,

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-20.png$

where the upper bound is the upper bound for the $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-12.png$ Value-at-Risk for any distribution with finite variance and centred.
If $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-31.png$ , then $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-32.png$ , i.e. $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-33.png$ . But since, $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-33.png$ for a $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-36.png$ distribution, then

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-21.png$

and further

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-22.png$

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Wednesday, January 6 2010

Nikkei's past experience vs. SP500 (in euros)

By arthur charpentier on Wednesday, January 6 2010, 11:03

Following Michael's idea (here), I wanted to go further, based on his intuition (and dataset that he kindly sent me, there). If we consider the two series of Nikkei index and SP500 index in euros, we have to following graph,

the code is simply the following (the merging function is simply here to avoid problem with different trading days: since we look at the index and not the return, it is the simplest way to deal with it).
> library(RODBC)
> base = odbcConnectExcel("http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/spx_nky_eurusd.xls", readOnly = TRUE)
> series1 = sqlQuery(base,query="select * from [Tabelle1$A2:B8837]") # SPX
> series2 = sqlQuery(base,query="select * from [Tabelle1$D2:E8631]") # NKY
> series3 = sqlQuery(base,query="select * from [Tabelle1$G2:H8945]") # EURUSD
> odbcCloseAll()
> series4=merge(series1,series3)
> series4$SPEUR=series4$SPX/series4$EURUSD
> series5=merge(series4,series2)
> x=(as.Date(series5[,1])-as.Date("01/01/0000","%d/%m/%Y"))/365.25
> yl=range(series5[,4])
> xl=c(1975,2010)
> plot(x,series5[,4],axes=FALSE,xlab="",ylab="",type="l",
+ lwd=3,col="red",xlim=xl,ylim=yl)
> axis(1)
> axis(2, col="red")
> par(new=TRUE)
> yl=range(series5[,5])
> plot(x,series5[,5],axes=FALSE,xlab="",ylab="",type="l",
+ lwd=3,col="blue",xlim=xl,ylim=yl)
> axis(4, col="blue")
> mtext("SP500 in Euros", 2, line=2, col="red", cex=1.2)
> mtext("NKY", 4, line=2, col="blue", cex=1.2)
Those two series series seem to have a similar pattern, so an idea can be translate the SP500 on the left,

Interesting isn't it ? Suppose that we want to forecast (or forsee ?) the SP500 in euro for the next 10 years... People who enjoy charts would have here a nice tool...
Those two series are extremely correlated, with a correlation of 0.9572,
> X1=series5[2501:n,4]
> X2=series5[1:(n-2500),5]
> cor(X1,X2)
[1] 0.9572484
But are the two series cointegrated (see here, here or there for material on cointegration) ? Well, using standard procedure, we first have to prove that the two series are integrated. First, let us look at the autocorrelograms,

At first sight, we confirm the economic intuition that those indices should be integrated. Standard tests confirm that intuition,
> acf(X2,lag=1000,col="light green")
> acf(X1,lag=1000,col="light green")
> library(tseries)
> adf.test(X1)
Augmented Dickey-Fuller Test
data: X1
Dickey-Fuller = -1.0768, Lag order = 17, p-value = 0.9264
alternative hypothesis: stationary
> adf.test(X2)
Augmented Dickey-Fuller Test
data: X2
Dickey-Fuller = -1.2905, Lag order = 17, p-value = 0.8788
alternative hypothesis: stationary
But if we want to go further, we have to find the cointegration relationship between the two series. From an heuristic point of view, a linear regression should be a good proxy,
> reg=lm(X1~X2)
> plot(residuals(reg))

> acf(residuals(reg),lag=1000,col="light green")

> adf.test(residuals(reg))
        Augmented Dickey-Fuller Test
data: residuals(reg)
Dickey-Fuller = -5.176, Lag order = 17, p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary
Message d'avis :
In adf.test(residuals(reg)) : p-value smaller than printed p-value
> pp.test(residuals(reg))
        Phillips-Perron Unit Root Test
data: residuals(reg)
Dickey-Fuller Z(alpha) = -46.9775, Truncation lag parameter = 11,
p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary
Message d'avis :
In pp.test(residuals(reg)) : p-value smaller than printed p-value
When we look at the autocorrelation function, it looks like we do have a stationary series.
This idea is - more or less - the idea of Engle-Granger two step procedure. But actually, we can not directly use Dickey-Fuller's test to see if residuals are integrated. This was proved in Phillips and Ouliaris (1990), who also proposed a test (see e.g. here),
> library(tseries); po.test(cbind(X1,X2))
        Phillips-Ouliaris Cointegration Test
data: cbind(X1, X2)
Phillips-Ouliaris demeaned = -53.1766, Truncation lag parameter = 57,
p-value = 0.01
Message d'avis :
In po.test(cbind(X1, X2)) : p-value smaller than printed p-value
Another similar function can be found in R
> library(urca)
> summary(ca.po(cbind(X1,X2)))
########################################
# Phillips and Ouliaris Unit Root Test #
########################################
Test of type Pu
detrending of series none
Call:
lm(formula = z[, 1] ~ z[, -1] - 1)
Value of test-statistic is: 45.2032
Critical values of Pu are:
                  10pct    5pct    1pct
critical values 20.3933 25.9711 38.3413
Thus, we has to admit that those series are cointegrated.
Based on that idea, it is possible to model the stationary component, and forecast it for the next ten years, based on the assumption that we know the behavior of one time series. Hence, if we add the confidence interval due to the stationary component uncertainty, we have the following graph,

Of course, again, only uncertainty related to the stationary process is considered here....

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Tuesday, December 1 2009

Arbres binomiaux et valorisation d'options

By arthur charpentier on Tuesday, December 1 2009, 23:08

On a (re)vu lors de la dernière PC la valorisation par arbres (modèle de Cox, Ross et Rubinstein), et évoqué la convergence - dans le cas d'un call européen - vers le prix de Black et Scholes.

arbre à un période

On suppose qu'un actif risqué varie entre la date 0 et la date 1. On suppose qu'il ne peut prendre que 2 valeurs à la date 1: à partie de $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-01.png$ à la date 0, elle peut

monter pour atteindre $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-02.png$
descendre pour atteindre $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-03.png$

On dispose aussi d'un actif sans risque, dont le rendement est $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-06.png$ . On supposera que $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-05.png$ (je reviendrais plus tard sur l'interprétation de cette hypothèse). Pour valoriser tout actif contingent, on crée un portefeuille de réplication, consitué de $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-07.png$ quantités de l'actif risqué, et $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-08.png$ de l'actif sans risque. Soit
$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-09.png$ la valeur de l'actif contigent si l'actif risqué monte, et $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-10.png$ s'il baisse. Alors

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-11.png$

Sous l'hypothèse d'absence d'opportunité d'arbitrage, le prix d'un tel portefeuille est égal au prix de l'actif contingent. Notons que ce portefeuille est constitué des quantités

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-12.png$ $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-13.png$

Le prix aujourd'hui d'un tel portefeuille est

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-14.png$

qui peut s'écrire

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-15.png$

où

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-16.png$

Si $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-17.png$ , alors il y aurait une opportunité d'arbitrage, l'actif sans risque présentant un rendement plus faible que l'action, quel que soit l'état de la nature. De même, si $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-18.png$ , il n'y aurait aucun intérêt à acheter l'action. Aussi, par des arguments d'absence d'opportunité d'arbitrage,

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-05.png$

Cette dernière condition implique en particulier que

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-19.png$

aussi, $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-20.png$ peut être vu comme une probabilité. On parlera alors de probabilité risque neutre, car avec ce mécanisme de couverture parfaite (on réplique parfaitement l'actif risqué) il n'y a plus de risque....

arbre à n périodes

Dans un arbre à plusieurs périodes, les valeurs possibles pour l'actif risqué à la date i sont

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-21.png$ où $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-22.png$

comme le montre l'arbre dessiné ci-dessous.

En reprenant ce que nous avions vu auparavant, et qu'on l'applique à un call européen de maturité n, et de strike K, le prix à la date 0 du call s'écrit

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-23.png$

On peut réécrire cette expression sous la forme

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-24.png$

où

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-25.png$

est le nombre minimal de hausse du sous-jacent pour être au dessus du strike à échéance. Aussi, en posant $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-26.png$ , on peut écrire

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-27.png$

Notons que $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-28.png$ et $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-29.png$ sont des probabilités, aussi, en notant $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-30.png$ la fonction de répartition de la loi binomiale, on peut écrire

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-31.png$

convergence vers de la prix de Black & Scholes

Au lieu de considérer un arbre sur la période [0,n], avec une durée de 1 entre chaque dates, supposons la maturiété fixée. On construit alors un arbre sur la période [0,T], avec une durée T/n entre chaque date.
Concernant le terme d'actualisation (correspondant au taux sans risque), notons que si n est suffisement grand,

$http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-32.png$

quand $http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/arbre-binom-33.png$ . Pour visualiser la convergence vers le prix de la formule de Black-Scholes, rien de plus simple,

(la valeur en pointillé étant le prix de la formule de Black et Scholes).

autres possibilités avec les arbres

Les arbres sont très intéressants car ils permettent de valoriser des options qui pourraient sembler relativement complexe. J'avais évoqué ici la valorisation des options américaines, qui se fait très facilement par arbres (facilement, je n'ai pas dit efficacement). Rubinstein (1994) avait aussi proposé des arbres mutlivariés, pour valoriser des options multisupports, comme des options sur spread (représentés sur la figure ci-contre). On peut aussi calculer facilement des grecques. Bref, les arbres c'est très pratique.

On peut trouver des compléments ici ou là sur internet.

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Friday, June 5 2009

Martingale et finance

By arthur charpentier on Friday, June 5 2009, 14:15

Je voulais finir la semaine par un complément à ce que j'ai pu raconter mardi soir lors de la conférence Banque de France, sur l'arrivée tardive des modèles stochastiques en finance. Dans un très vieux billet, j'avais déjà commenté rapidement un passage du Blacktown de Lewis Trondheim où l'origine du mot hasard était évoqué (ici ou là, pour une version plus complète, parge 145). Toujours dans Blacktown, la notion de "martingale" est également évoqué dans la même page,Pour rappel, on dit qu'un processus (en temps discret, mais on peut généraliser) est une martingale si

$\mathbf{E} ( \vert X_n \vert )< \infty$

$\mathbf{E} (X_{n+1}\mid X_1,\ldots,X_n)=X_n,$

De manière un peu plus formelle, soit $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ une filtration, c'est à dire toute simplement une suite croissante de tribus $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ , c'est-à-dire $\mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n+1} \ \ \forall n \in \mathbb N$ , et $(M_n)_{n \ge 0}$ une suite de variables aléatoires. On dit que $(M_n)_{n \ge 0}$ est une martingale par rapport à $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ si:

$(M_n)_{n \ge 0}$ est adaptée à la filtration $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ .
$M_n \,$ est intégrable pour tout entier n.
$E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n ) = M_n$ .

En fait, comme le note Lewis Trondheim, il existe une définition de "martingale" dans le langage de tous les jours (en tous cas pour ceux qui vont tous les jours au casino), détaillé ici. Si on retient cette définition (tirée de wikipedia), on note qu'une martingale est une technique permettant d'augmenter les chances de gain aux jeux de hasard tout en respectant les règles de jeu. Cependant, une martingale ne permet en aucun cas de changer l'espérance du gain : en moyenne un joueur utilisant une martingale ne gagnera pas plus qu'un autre joueur. En effet, la martingale permet de perdre moins souvent, mais elle augmente en contrepartie le montant des pertes. Cette définition est très proche de la définition mathématique: en moyenne, on n'augmente pas ses gain. Ce n'est pas tout à fait cette définition qui est retenue dans le dictionnaire (dictionnaire TLFI, ici), malheureusement,

MARTINGALE, subst. fém.

B. − JEUX DE HASARD. Coup consistant à doubler la mise qu'on a perdue au coup précédent. Jouer la martingale à la roulette:

3. ... ce qui passe toute permission, ce qui crie véritablement vengeance, (...) c'est d'entendre un faiseur de chronique signaler ma maison comme un tripot, parce qu'on y donne à jouer, et me signaler moi-même comme un héros de martingale [it. ds le texte] ou d'intermittence.
Jouy, Hermite, t. 2, 1812, p.299.

− P. ext. Méthode plus ou moins exacte, mise au point à partir de l'observation du rythme des gains et des pertes au jeu, et grâce à laquelle le joueur espère assurer ou accroître ses gains. Inventer, suivre une martingale:

Étymol. et Hist. B. 1760 jeux faire la martingale «jouer le double de ce qu'on a perdu» (Diderot, Lettres à Sophie Volland, 6 nov., t. 1, p.183); 1801 martingale «combinaison plus ou moins scientifique destinée à assurer des gains» (L. B. Picard, Les Provinciaux à Paris, II, 1 ds Littré).

On notera que le dictionnaire de l'Académie Française reprend cette idée d'assurance, de perte d'incertitude, qui n'est pas du tout dans la notion mathématique, bien au contraire.

MARTINGALE n. f.
XV^e siècle. Probablement issu du provençal martegal, « habitant de Martigues », terme employé parfois de manière péjorative au sens de « extravagant ».
☆ 4. JEUX. Manière de jouer qui consiste à miser, à chaque coup, le double de ce qu'on a perdu lors du coup précédent. Jouer à la martingale ou jouer la martingale. Par ext. Méthode qui permettrait, par une combinaison de calculs, de gagner à coup sûr à un jeu de hasard. Inventer une martingale.

Mais je m'écarte un peu de mon sujet. La notion de martingale est au coeur de la finance (et des méthodes de valorisation d'actifs). Ce n'est pas pour rien que Nicolas Bouleau a d'ailleurs retenu cette notion dans le titre d'un très joli livre de vulgarisation des mathématiques financières.

Je pense qu'il faut remonter aux travaux de Paul Samuelson entre 1965 et 1975 pour voir formuler la notion de martingale en finance XXX

Pour Paul Samuelson, cette notion de martingale est étroitement liée à la notion d'efficacité informationnelle des marchés (ou d'efficience). Stephen LeRoy et Robert Lucas ont alors montré l'importance de cette notion pour construire un modèle d'équilibre général et Michael Harrison, Daniel Kreps et Stanley Pliska ont placé la notion de martingale au centre de la théorie financière via le fundamental theorem of asset pricing. Je renvoie aussi à tous les travaux d'Eugene Fama (et sinon il suffit d'aller lire ici, ou là pour plus d'information).

La variation du prix d'un actif est alors interprété comme une différence de martingale (qui est une forme faible de bruit): les rendements boursiers évoluent alors au hasard.

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"La bourse reste un bon choix à long terme"

By arthur charpentier on Friday, June 5 2009, 13:38

Je sais, c'est pas sympa de se moquer, mais je voulais juste mettre un graphique pour illustrer ces propos datant de début 2009 (le graphique s'arrête fin 2008)Afin de faire une comparaison, je n'ai pas comparé avec une quelconque courbe de taux d'obligations d'état, mais juste le taux des livrets A (qui peut se trouver ici).J'ai décidément du mal à croire cet argument comme quoi la bourse peut être vu comme un "bon choix" sur du long terme (20 ans me paraît être du long terme, mais êut être là aussi, je suis un peu jeune pour trouver ça court).