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Miscellaneous › Catastrophes improbables

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Sunday, June 5 2011

Mal calculer les probabilités tue les probabilités

Suite à un tweet d'Olivier, j'ai découvert avec stupéfaction l'article paru dans Libé sur le risque nucléaire (ici).

On apprend que la probabilité d’accident majeur est d’environ 0.0003 0,0003 par an pour chaque réacteur. Or l'Europe possède 143 réacteurs et donc, sur 30 ans, la probabilité d'un incident majeur est
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/nucle-05.gif
et les auteurs de l'article concluent que "la probabilité d’occurrence d’un accident majeur sur ces parcs serait donc [...] de plus de 100% pour l’Union européenne"

Etienne Ghys a déjà - brillamment - discuté ce chiffre avant hier (ici). Le soucis est que si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/nucle-02.gif est la proba annuelle d'incident par an et par réacteur, en supposant les centrales indépendantes, la probabilité d'avoir un incident sur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/nucle-3.gif réacteurs sur une durée de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/nucle-04.gif années est
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/nucle-01.gif
Comme http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/nucle-02.gif est supposé petit, un développement limité donnerait
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/nucle-06.gif
Malheureusement, dans les développements limités de ce genre, s'il faut que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/nucle-02.gif soit petit, encore faut-il que la puissance ne soit pas trop grande....
En fait, si on retient que pour un réacteur nucléaire à eau pressurisée (REP) tels ceux exploités en Europe de l’Ouest, le risque de fusion du cœur est estimé à 0.00005 par centrale et par an (en reprenant les estimateurs mentionnés sur wikipedia, ici), la vraie probabilité d'avoir un incident majeur en Europe serait plutôt de l'ordre de
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/nuclea-07.gif
(avec une probabilité 10 fois supérieure, Etienne arrivait à 72%). C'est marrant car cette erreur commise en croyant qu'un développement limité serait légitime quand on utilise des probabilité annuelle sur des horizons plus longs était évoqué ici il y a un an jour pour jour, sur des problèmes d'actualisation....

Tuesday, January 11 2011

Cursed numbers ?

In Lost, Hugo “Hurley” Reyes played the numbers 4, 8, 15, 16, 23 and 42 at the lottery, and ended up winning the $114-million jackpot. And over the ensuing weeks, everyone around him seems to suffer increasingly bad luck: Hurley’s grandfather dies of a heart attack, his brother's wife walks out, his mother breaks her ankle while the house Hurley bought her goes up in flames, and Hurley himself is falsely arrested.
Anyway, last week (here) 4 numbers (out of 6) appeared at the lottery in LA. As pointed out by Xian (here), the odds were not that small, i.e. it is a 1‰ chance,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/probaloto.png
Hence, with one lottery per week, the return period is 16 years. Note this percentage is very close to what we did observe on the French lottery (below the statistics in ‰, from here, in a zip file),
> loto=read.table("loto.csv",dec=",",header=TRUE,sep=";")
> ntirage=nrow(loto)
> loto=loto[51:ntirage,]
> ntirage=nrow(loto)
> N=as.matrix(loto[,c("boule_1","boule_2","boule_3",
"boule_4","boule_5","boule_6")])
> P=rep(NA,nrow(N))
> for(s in 1:nrow(N)){
+ P[s]=sum(N[s,1]%in%c(4, 8, 15, 16, 23, 42)+
+ N[s,2]%in%c(4, 8, 15, 16, 23, 42)+
+ N[s,3]%in%c(4, 8, 15, 16, 23, 42)+
+ N[s,4]%in%c(4, 8, 15, 16, 23, 42)+
+ N[s,5]%in%c(4, 8, 15, 16, 23, 42)+
+ N[s,6]%in%c(4, 8, 15, 16, 23, 42))
+ }
> table(P)/nrow(N)*1000
P
0 1 2 3 4
435.732113 405.366057 137.271215 19.966722 1.663894

But what about the full sequence...? Imagine that in France, at the official lottery, the exact sequence played by Hugo appears. What a coincidence. The probability that the sequence appears, assuming that there are 48 possible numbers in the lottery, is

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/lotto2.png
i.e. the expected number of draws we need before seeing that sequence for the first time is almost a billion.
Now if we look at all official lotteries around the world, say 100 per week, what is the probability to see Hurley's sequence shows up - at least once - in 25 years (assuming that after 25 years, no one will remember Lost and those cursed numbers) ? It looks like it is a 1% chance...
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/proba-lost.png

So let us wait and see...

Monday, January 3 2011

Encore une année record...

Comme l'a noté la blogosphère ces dernières heures, il semble que des records aient (encore) été battus en terme de catastrophes naturelles: "catastrophes naturelles : une année 2010 exceptionnelle" (ici) ou "2010, année record des catastrophes naturelles" (). Maintenant on peut remonter un peu dans le temps aussi: "catastrophes naturelles: 2008 bat des records" (ici) ou  "2008 a battu des records de catastrophes naturelles" (), "en 2007, les catastrophes naturelles ont atteint un nombre record" (ici), "catastrophes naturelles : 2005 bat des records en matière d'intensité et de coûts" (ici)  ou "les catastrophes ont entraîné une facture record en 2005" (), "déjà record, le bilan 2004 des catastrophes naturelles s’alourdit" (ici), "année 2000 : record de catastrophes naturelles" (ici) et "catastrophes naturelles : encore une année record" (en 2000, ) etc, etc.

Bon, en tant que statisticien, les rares résultats que je connaisse sur les records sont des théorèmes en log (i.e. en variation lente). Si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/record01.png est une suite de variables i.i.d. et que l'on définie les durées entre records,
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/records02.png
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/record03.png, avec http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/record04.png. Alfred Rényi a montré que
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/record08.png
alors que Marcel Neuts a montré que
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/record09.png
En particulier, on note que
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/record11.png
Autrement dit, plus le temps avance, plus les records doivent devenir rares.
Par exemple, regardons la simulation suivante. Considérons un processus Poissonnien homogène, http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/catnat01.png, avec les dates des catastrophes, et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/catnat02.png leur coût.

On note
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/catnat04.png
le nombre annuel de catastrophes (éventuellement, on ne considère que les catastrophes dont le cout dépasse un seuil prédéfini, comme cela semble généralement être le cas).

On peut définir le processus de records,
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/catnat07.png
qui ressemble à ça

Bon, maintenant, si on a des records tous les ans (ou presque) c'est probablement que l'hypothèse i.i.d. n'était pas valide.
Supposons par exemple qu'il y ait de l'inflation, i.e. les coût sont http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/catnat03.png.

Dans ce cas, le processus de nombre d’événements annuels est

et celui des records

Si on répète l'expérience un grand nombre de fois, le nombre moyen d’événements par année me cesse de croître (en rouge ci-dessous)

et le processus de records moyen (avec le cas i.i.d. en bleu),

Autrement dit, si l'inflation est trop importante, il est possible d'avoir régulièrement de nouveaux records.
Une autre possibilité est de supposer qu'il n'y a pas d'inflation, mais que le nombre de sinistres ne cesse de croître (ici un processus de Poisson à intensité linéaire), c'est à dire une fréquence plus importante des événements climatiques extrêmes

Le nombre annuel de catastrophes est alors

soit, si l'on considère le processus de records

Là encore, si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois, le nombre moyen de catastrophes ne cesse de croître

alors que le processus de records a la moyenne suivante

Bref, il est possible d'avoir effectivement des records presque tous les ans. Cela signifie probablement que les sinistres coûtent de plus en plus cher (hausse de la valeur à risque), mais aussi probablement que les catastrophes sont de plus en plus fréquentes. On retrouve finalement ce que je disais il y a quelques mois maintenant (ici).

Friday, December 3 2010

Millenium bridge, endogeneity and risk management

In less than 48 hours, last week two friends mentioned the Millennium Bridge as an illustration of a risk management concept. There are several documents with that example, here (for the initial idea of using the Millennium Bridge to illustrate issues in risk management) here or there, e.g.

When we mention resonance effects on bridges, we usually thing of the Tacoma Narrows Bridge (where strong winds set the bridge oscillating) or the Basse-Chaîne Bridge (in France, which collapsed on April 16, 1850, when 478 French soldiers marched across it in lockstep). In the first case, there is nothing we can do about it, but for the second one, this is why soldiers are required to break step on bridges.

But for the Millennium bridge, a 'positive feedback' phenomenon (known as Synchronous Lateral Excitation in physics) has been observed: the natural sway motion of people walking caused small sideways oscillations in the bridge, which in turn caused people on the bridge to sway in step, increasing the amplitude of the oscillations and continually reinforcing the effect. That has been described in a nice paper in 2005 (here). In the initial paper by Jon Danielsson and Hyun Song Shin, they note that "what is the probability that a thousand people walking at random will end up walking exactly in step? It is tempting to say “close to zero”, or “negligible”. After all, if each person’s step is an independent event, then the probability of everyone walking in step would be the product of many small numbers - giving us a probability close to zero. Presumably, this is the reason why Arup - the bridge engineers - did not take this into account. However, this is exactly where endogenous risk comes in. What we must take into account is the way that people react to their environment. Pedestrians on the bridge react to how the bridge is moving. When the bridge moves under your feet, it is a natural reaction for people to adjust their stance to regain balance. But here is the catch. When the bridge moves, everyone adjusts his or her stance at the same time. This synchronized movement pushes the bridge that the people are standing on, and makes the bridge move even more. This, in turn, makes the people adjust their stance more drastically, and so on. In other words, the wobble of the bridge feeds on itself. When the bridge wobbles, everyone adjusts their stance, which sets off an even worse wobble, which makes the people adjust even more, and so on. So, the wobble will continue and get stronger even though the initial shock (say, a gust of wind) has long passed. It is an example of a force that is generated and amplified within the system. It is an endogenous response. It is very different from a shock that comes from a storm or an earthquake which are exogenous to the system."

And to go further, they point out that this event is rather similar to what is observed in financial markets (here) by quoting The Economist from October 12th 2000 "So-called value-at-risk models (VaR) blend science and art. They estimate how much a portfolio could lose in a single bad day. If that amount gets too large, the VAR model signals that the bank should sell. The trouble is that lots of banks have similar investments and similar VAR models. In periods when markets everywhere decline, the models can tell everybody to sell the same things at the same time, making market conditions much worse. In effect, they can, and often do, create a vicious feedback loop. "

Tuesday, November 23 2010

What the hell...?

Monday, March 1 2010

Les Pays-Bas inondés, février 1953

Après un week-end de trois jours en Vendée, je vais faire un rapide billet sur les inondations costales (après la catastrophe improbable du barrage de Vajont, ici), que j'aurais du mal à qualifier d'improbables....

Lorsque l'on parle des l'histoire la théorie des valeurs extrêmes (ou plutôt la second partie de l'histoire, la première avait été racontée ici), on évoque souvent la crue de février 1953 qui a inondé les Pays-Bas (je renvoie aux slides de Paul Embrechts par exemple, ici). Pour résumer, pendant la nuit du 31 janvier au 1er février 1953, une très forte tempête traversa la mer du nord. Dans des villes où la marée haute atteignait en moyenne 1 mètre au dessus de niveau de la mer à Amsterdam (ce que l'on appelle NAP, Normaal Amsterdams Peil), on atteignait presque les 4 mètres. Comme souvent (je pense par exemple à la canicule de 2003 en particulier, à laquelle je consacrerais bientôt un billet), le problème n'est pas seulement les hauteurs extrêmes, mais la persistance, i.e. le fait que l'évènement ait duré longtemps. En effet, le 1er février 1953, la marée basse n'avait pas causé de véritable baisse du niveau de l'eau, si bien que quand la marée haute arriva, l'eau avait déjà atteint un niveau très élevé. Mais comme le notait de nombreux commentaires de l'époque, les grandes marées étaient prévues 2 semaines plus tard, autrement dit la catastrophe aurait pu être pire encore si elle était survenue 15 jours plus tard !

Les digues subirent plus de 400 brèches, et plus de 500 km de digues furent à reconstruire. Mais surtout, 1836 personnes trouvèrent la mort, ce qui, ramené à la population des Pays-Bas de l'époque (de l'ordre de 10 millions d'habitants, ici), correspondrait à une catastrophe causant la mort de plus de 10000 personnes en France (ou plus de 60000 aux États Unis) aujourd'hui. La carte ci-dessus montre la région qui s'est retrouvée sous l'eau soit plus de 1600 km2 (sinon je renvois ici pour des photos). Comme toujours dans les catastrophes, l'intérêt ex-post sont les leçons que l'on en a tirées. Aux Pays-Bas, la catastrophe a donné naissance au Deltawerken, qui initia (et finança) davantage de recherche sur le niveau des digues, ce que nous appellerions en gestion des risques un problème de calcul de Value-at-Risk: à quelle hauteur mettre une digue pour éviter qu'un évènement se produise dans 99,999% des cas ? Je renvoie ici ou pour plus d'information sur la catastrophe...

Sunday, January 10 2010

L'accident de Los Alfaques (1976)

Parmi les grandes catastrophes passées, la catastrophe de Los Alfaques en Espagne. Il s'agit d'un accident routier, le 11 juillet 1978. Un camion citerne contenant du propylène a explosé à proximité d'un camping, et tua plus de 200 personnes et de très nombreux blessés. Comme l'avait titré à l'époque Time, "it was like napalm" (ici).
Sans rentrer dans les détails sordides (le sordide avait été atteint par Paris Match cette semaine là en publiant des photos de la catastrophes), comme la plupart des hydrocarbures simples, le propylène est incolore, inodore, et très inflammable.
Comme le montre le schéma ci-dessous (trouvé ici) toutes les personnes dans un rayon de 150 mètres sont mortes. Et entre 150 et 250 mètres par exemple, 1/5 des personnes sont décédées des suites de leurs blessures.
A l'époque, le sinistre avait coûté plus de 20 millions d'euros aux assureurs. En utilisant une inflation (au sens de l'INSEE), cela correspond à plus de 80 millions d'euros. Ce qui le rapproche du coût de l'accident du tunnel du Mont Blanc qui est - si je suis bien informé - le plus gros sinistre en assurance auto.

Friday, January 8 2010

Les ouragans en Europe ? c'est pour quand ?

Ce qui est trop sympa avec les réassureurs, c'est que quand on commence à parler de risques improbables, on se rend compte qu'on a finalement une imagination très limitée... Et c'est aussi pour ça que j'avais décidé de créer cette rubrique (avec l'aide d'Emmanuel Debreuil sans qui je ne pourrais pas faire grand chose).
Par exemple, imaginons un ouragan en Europe.... Bon, j'avais une vision assez simpliste de la mécanique des fluides, en pensant que dans l'Atlantique Nord, les ouragans partaient forcément vers l'ouest (un peu comme sur le dessin ci-contre). Cette idée se retrouve un peu partout sur le net dès que l'on regarde des cartes mondiales, comme celle ci-dessous,

(on peut aller un peu plus loin ici). Pourtant les ouragans commencent à arriver en Europe. Emmanuel m'a ainsi envoyé la photo suivante (que l'on peut élargir en cliquant), où on apprend qu'un ouragan s'est rapproché de l'Europe le 6 octobre dernier,
Son petit nom, c'est Grace (ici ou ), qui est officiellement un cyclone tropical, et qui a terminé sa route au large de l'Irlande. Il s'agit du cyclone tropical le plus proche de la France jamais observé. En fait, si on regarde, on a déjà eu des choses semblables par le passé. Par exemple en 1995, Iris est arrivé au large de l'Europe (ici).

Bon, s'il faut continuer la surenchère pour coller un réassureur, la prochaine fois je parle d'une météorite sur Paris !

Tuesday, December 29 2009

Grandes catastrophes: le barrage de Vajont (1963)

Je suis régulièrement sollicité pour savoir s'il existe des scénarios catastrophes, avec des scénarios imaginés par des assureurs, de coûts de sinistre, et surtout des probabilités de survenance. Pour être honnête, je n'ai rien de tel sous le coude. Par contre, je me disais qu'il pourrait être intéressant de revenir sur quelques catastrophes majeures, parfois hautement improbables, permettant d'entrevoir le champ des catastrophes qui pourraient survenir un jour.
Pour inaugurer cette nouvelle rubrique, je voulais revenir sur cette catastrophe - assez méconnue en France - que m'a fait découvrir Emmanuel Dubreuil un peu avant les vacances...Il s'agit de la catastrophe survenue au barrage de Vajont le 9 octobre 1963.
Je pensais que les accidents de barrages étaient "simples" à imaginer, avec une rupture d'un barrage, une vallée inondée, et éventuellement un effet domino dans le pire des cas. Mais cette catastrophe est assez différente, car le barrage est toujours là (la photo de gauche à été prise le lendemain de la catastrophe, l'eau étant supposée être dans le cratère à gauche) !
http://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.dinam1aB_s.jpgTout a commencé à 22 heures 40, avec un éboulement qui se détacha des pentes du Mont Toc, en s’écroulant sur le réservoir (en amont du barrage), avec une masse compacte de plus de 270 millions de m3. Tout le côté du Toc, sur une largeur de3 km.environ, s'est enfoncé dans le réservoir (avec ses forêts, ses champs et ses maisons). Pour faire simple, deux énormes vagues de plus d'une centaine de mètres de haut vont alors déferler...http://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.dinam1bB_s.jpgLa première, en amont, a été poussé à ouest, où la vallée du Vajont s’élargit, mais sans véritables conséquences importantes.
La seconde vague (de plus que 50 millions de m3) surmonta le barrage en tombant à plomb dans la vallée. La gorge du Vajont étant très étroit, cette seconde vague se trouva comprimée davantage, ce qui lui donna encore plus d’énergie.En sortant de la vallée, la vague faisait 70 m de haut, et provoqua un vent de plus en plus fort. http://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.dinam1cB_s.jpgL’eau submergea les maisons, les églises, les hôtels, les monuments, les routes, et plia les voies de la gare de Longarone. La vague rebondit contre la montagne, et un lent refluement commença (en sens inverse de la poussée initiale). D’autre villes firent détruites entièrement ou en partie: Rivalta, Pirago, Faè et Villanova dans la Commune de Longarone, Codissago dans la Commune de Castellavazzo. À Pirago seulement le clocher survit miraculeusement, la villa Malcom et ses scieries disparurent. Le flux du Piave se rétablit seulement dix heures plus tard.
On compta au final plus de 2000 personnes manquantes. Pour plus d'info sur la catastrophe, je renvoie ici ou . Sinon je crois qu'un film avec Daniel Auteil retrace l'évènement (mais je ne l'ai pas encore vu),


La Folie des hommes- Bande annonce FR

Wednesday, September 23 2009

Les évènements (très) rares existent, la preuve j'en ai vu...

Bon, bien sûr il y a les évènements très rares qu'on ne voit qu'à la télé... tellement rares que les assureurs s'en servent pour faire de la pub'....



Mais il y en a d'autres.... surtout ceux que l'on trouve très rares ex-post. Le dernier exemple est le tirage du loto en Bulgarie. Les 6 et 10 septembre dernier, les tirages du loto ont donné les boules suivantes {4, 15, 23, 24, 35, 42}. Bon, comme je l'avais mentionné ici, c'est aussi exceptionnel comme tirage que {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mais c'est vrai qu'on observe aucune régularité digne de s'extasier.
Ce qui est exceptionnel - semble-t-il - c'est que les deux tirages consécutifs aient donné exactement les mêmes boules ! S'il existe un double gagnant, je pense qu'il existe en Bulgarie un Hurley en train de se dire que ces nombres ont décidément un pouvoir magique....
En fait, une fois donné ce premier tirage, la probabilité de ravoir le même tirage la semaine suivante est d'environ une chance sur 14 millions (je renvoie aux cours de Terminale pour le calcul). Comme le note le blog choux romanesco, vache qui rit et intégrale curviligne (ici) compte tenu de la fréquence et du nombre des tirages nationaux du loto, on peut dire que sur une vie (disons 80 ans), on a environ 1 chance sur 28 pour qu'une répétition de tirages se produise... ce qui finalement n'est pas si rare...
Mais moi aussi je sais produire des évènements rares avec mes petites mains ! Par exemple ce matin, j'avais besoin d'un nombre au hasard..
> runif(1)
[1] 0.576252569

et ben mine de rien, j'avais une chance sur 1 milliard de tomber dessus... et que celui qui a réussi à trouver exactement le même chiffre avec un générateur aléatoire m'envoie un mail !

Monday, April 6 2009

Earthquake in Italy

Since I am currently given a short course on "covering catastrophic risk" in Brazil, I would like to refer here to the earthquake in Italy. In a recent post (in French, about risk management and my son, here) I mentioned that it was difficult to ask people to "expect" (or at least to accept prediction about) catastrophes.

It looks like this point has been recently confirmed in Italy (see here), about the fact that some researchers "predicted" the occurence of such an eathquake.

A nice article has been published on the website of Reuters, extremely interesting about catastrophe prevention (here),

"An Italian scientist predicted a major earthquake around L'Aquila weeks before disaster struck the city on Monday, killing dozens of people, but was reported to authorities for spreading panic among the population. The first tremors in the region were felt in mid-January and continued at regular intervals, creating mounting alarm in the medieval city, about 100 km (60 miles) east of Rome. Vans with loudspeakers had driven around the town a month ago telling locals to evacuate their houses after seismologist Gioacchino Giuliani predicted a large quake was on the way, prompting the mayor's anger. Giuliani, who based his forecast on concentrations of radon gas around seismically active areas, was reported to police for "spreading alarm" and was forced to remove his findings from the Internet. Italy's Civil Protection agency held a meeting of the Major Risks Committee, grouping scientists charged with assessing such risks, in L'Aquila on March 31 to reassure the townspeople. "The tremors being felt by the population are part of a typical sequence ... (which is) absolutely normal in a seismic area like the one around L'Aquila," the civil protection agency said in a statement on the eve of that meeting. "It is useful to underline that it is not in any way possible to predict an earthquake," it said, adding that the agency saw no reason for alarm but was nonetheless effecting "continuous monitoring and attention". As the media asked questions about the authorities' alleged failure to safeguard the population ahead of the quake, the head of the National Geophysics Institute dismissed Giuliani's predictions. "Every time there is an earthquake there are people who claim to have predicted it," he said. "As far as I know nobody predicted this earthquake with precision. It is not possible to predict earthquakes." Enzo Boschi said the real problem for Italy was a long-standing failure to take proper precautions despite a history of tragic quakes. "We have earthquakes but then we forget and do nothing. It's not in our culture to take precautions or build in an appropriate way in areas where there could be strong earthquakes," he said."

I do not know how accurate this story can be, I don't know if it is definitively impossible to predict earthquakes, but I am rather suprised (?) that the only political answer was to ask a researcher to remove his research from his website.... A journal also mentioned this on April first, here.

Anyway, I still confess that I don't know how accurate all this is... I tried to find the website of this "seismologist" or "researcher", but I couldn't find it... I have been looking for some academic paper through specialiazed website, unfortunately,  but nothing... I found information about some Giampaolo Giuliani (and not Giocchino Giuliani) who did published some papers on polymers. Anyway, I am still confused about this story and the way journalists handle it.And even all this story is a hoax, at least it is still extremely interesting, at least with all the questions and comments that have been raised ? How do you defined a "false alert" ? It something should happen with a 50% chance, should you blame someone if, hopefully, the event did not occur...?