Hier, j'ai été un peu surpris quand un ancien collègue en France m'a parlé d'une interview exclusive (de moi) sur http://argusdelassurance.com/.... Puis je me suis souvenu qu'il y a quelques semaines, Madeleine m'avait contacter pour me poser quelques questions sur les assurance « à la carte », et la plus grande modularité des produits. Elle avait mis le doigt sur deux questions importantes, "comment procéder au calcul quand les offres sont personnalisées" et "est-ce intéressant pour l'assureur, pour l’assureur" ? Pour la première partie, c'est technique, et ça correspond à ce qu'on fait dans les cours de tarification (on en reparle dans quelques semaines, promis). Par contre le second point est plus troublant. Avec la théorie économique d'un côté, et les principes d'antisélection et d'aléa moral, mais qui insiste sur la nécessité, et pas l'intérêt de la segmentation... Afin de partager mon point de vue sur ces problèmes, j'avais voulu reprendre simplement un modèle qu'on avait utilisé dans le livre avec Michel Denuit (tome 1). Cet exemple nécessite un peu de formalisation, et j'ai été très surpris de voir que Madeleine l'avait gardé. Mieux, qu'elle l'avait clarifié (il faut dire qu'elle m'avait demandé un courriel en fin de journée, et que j'avais tapé ça rapidement, tout en faisant les devoirs des grands, et le bain de la plus petite... quand je relis ce que j'avais envoyé, et ce qu'elle en a fait, je suis admiratif). Mais prenons deux minutes pour reformuler cette histoire de segmentation d'un marché de l'assurance...
Commençons par le cas le plus simple, sans segmentation, avec mutualisation parfaite (et donc prime unique). En utilisant un principe de prime pure, si désigne la perte (aléatoire) pour les assurés, la prime à payer serait
. Et dans ce cas, en moyenne, le bilan de l'assureur serait équilibré, car
. Si on regarde l'incertitude associée aux dépenses (disons la variance pour faire simple), les assurés n'ont aucune variance car la dépense est la même pour tous. Tout le risque (la variance) est à la charge de l'assureur. On peut résumer ça dans le petit tableau suivant,
| Assurés | Assureur | |
|---|---|---|
| Dépense | ||
| Dépense moyenne | ||
| Variance |
On a ici la répartition des dépenses et du risque (que nous appellerons variance, à la Markowitz) entre l'assureur et les assurés assez simple, et on a un mécanisme de transfert des risques pur.
Continuons dans un monde parfait (disons avec information parfaite) mais avec cette fois de la segmentation (parfaite). Autrement dit, si la variable de risque est un variable , connue par l'assureur, alors il devrait faire payer
pour un assuré portant le risque
. Cette fois, la décomposition des dépenses et des risques se fait de la manière suivante
| Assurés | Assureur | |
|---|---|---|
| Dépense | ||
| Dépense moyenne | ||
| Variance |
On a ici une première composante qui repose sur les assurés, et la seconde sur les assureurs. C'est d'ailleurs le théorème de Pythagore, avec la variance liée à l'hétérogénéité à gauche, et à droite, la composante purement aléatoire.
Mais dans la vraie vie (le risque intrinsèque de l'assuré) n'est pas connu. On doit faire une segmentation imparfaite: on dispose de quelques variables explicatives, que l'on notera par un vecteur
, et on va essayer de construire un proxy de la variable de risque
(c'est le but des méthodes économétriques appliquées en tarification). La décomposition entre l'assureur et ses assurés se fait de la manière suivante
| Assurés | Assureur | |
|---|---|---|
| Dépense | ||
| Dépense moyenne | ||
| Variance |
qui correspond à la décomposition précédente, en remplaçant la variable non-observée par le proxy construit à partir de
. Là encore, en moyenne, l'assureur est à l'équilibre, car
autrement dit segmenter n'a pas de conséquence, en moyenne, sur le résultat de l'assureur. Par contre, la variance de l'assureur est ici
et la variance total du portefeuille est alors la somme
avec à gauche, un terme lié à la segmentation, au centre le hasard, et à droite, un terme de solidarité entre assuré (qu'on pourrait appeler de mutualisation), lié au fait que le risque n'est que partiellement assurable. C'est la mutualisation résiduelle qui peut exister en assurance santé si on exclue les tests génétiques: à partir de quelles variables explicatives , on peut inférer le risque de maladie, mais moins que si des tests génétiques permettaient d'approcher
avec une plus grande précision... Autrement dit, segmenter imparfaitement, ou partiellement, permet de maintenir un effet de mutualisation dans le portefeuille.... de faire de l'assurance en quelque sorte...
En effet, (comme le
rappelle Aymric), suite aux états généraux (de l’assurance vie) en 2007, le principe de la construction de tables de mortalité
d’expérience a été adopté en remplacement des tables de mortalité de la
population générale française entre 1960 et 1964 (tables dites PM 60-64
et PF 60-64) jusqu’alors imposées. Aymric avait travaillé sur ce sujet,
et a soutenu une thèse de doctorat qui avait fait l'unanimité. J’avais pris beaucoup
de plaisir à lire la thèse, j’en pense que j’en aurais à lire le livre
(disponible sur le site de l’éditeur 
(connue, de l'assuré
comme de l'assureur). Mais
l'assureur refuse de payer. Et l'assuré envisage d'aller au tribunal.
Afin de voir s'il s'agit d'une décision rationnelle, on suppose que
l'assuré (
) avait une richesse 
avant que le sinistre ne
survienne, qu'aller en justice lui coûte 
, et qu'il estime que
sa probabilité de gagner le procès est 
. De son coté, la compagnie (
) d'assurance a une richesse 
, qu'aller en justice lui coute 
, et que la probabilité que la compagnie perde le procès est -
selon la compagnie - 
(les 
sont alors les probabilités que l'assuré gagne son procès, mais vu des deux cotés). Au tribunal, on suppose que le juge rend un
verdict du genre 
décroissante), alors
. Aller au tribunal n'est pas Pareto optimal si 
, il peut alors être
optimal de ne pas aller au tribunal.... On ne dit pas ici qu'il faut que la compagnie indemnise (intégralement)
l'assuré, mais que l'assureur et l'assuré peuvent avoir intérêt a trouver
une solution amiable...
.
L'assuré acceptera cette somme si l'utilité qu'il en tire est plus
grande que l'espérance d'utilité qu'il aura en allant au tribunal,
. Si l'agent a une utilité exponentielle
qui maximise le produit des deux gains d'utilité (cf 
est
décroissante en 
: plus l'assuré est risquophobe, plus faible sera la
montant de la transaction.... Ce qui n'est pas surprenant, on retrouve ici un résultat noté dans 
The Geneva Association just published on its website an interesting report on
et si on ne retient que les évènements climatiques (weather related)
camping
pouvaient rembourser les vacances des vacanciers en cas de mauvais
temps.... Oui, on pourrait s'en douter, il y a un contrat d'assurance
derrière - afin d'éviter que ce revendeur (il n'est pas le seul
d'ailleurs) ne fasse faillite ! Des amis qui suivent le foot me
faisaient remarqué que la prime d'assurance ne devaient pas être trop
élevée.... 
, puis de tirer 
, on génère des valeurs telles que
a été obtenu lors d'une étape du boostrap.
Publication d'un papier sur les modèles en réassurance dans la revue Risques (
Il y a quelques mois, Guillaume Plantin (ancien commissaire
contrôleur, actuellement enseignant à la London Business School) et Jean Charles
Rochet (professeur à TSE1) ont publié un ouvrage très très instructif when insurers go bust. Comme ils le notent très justement à la fin (je ne m'empêcherais pas de mettre en ligne deux pages, 
Je vais reprendre un commentaire posté 
on a dans les variables explicatives une variable dichotomique, l'interprétation des coefficients est alors très simple, et très élégantes. 
soit la log-vraisemblance suivante
La condition du premier ordre correspond à l'annulation de la dérivée, i.e. de
ce qui donne tout simplement
Autrement
dit, on peut avoir l'impression que l'on peut estimer les paramètres
associés à l'année de survenance indépendamment les uns des autres,
i.e. "marginalement".
