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Personal › lecture (de derrière les fagots)

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Tuesday, February 28 2012

Attention, voilà une formule de maths

Ce midi, alors que nous survolions avec des collègues la version papier du Magazine de l'UQAM (lu par un personnel universitaire), nous sommes tombé sur l'avant-dernière page, avec la publicité d'un assureur (qui ne figure pas dans la version électronique, donc on se contentera d'un scan):

Si on regarde attentivement le tableau noir, on nous rappelle la définition de la dérivée d'une fonction,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/assurance-02.gif

et on regarde le cas particulier où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/assurance-01.gif (en plus on crée l'illusion en notant http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/assurance-3.gif la nouvelle dérivée mais c'est juste que le tableau complique inutilement quelque chose de relativement simple). Suit cette phrase " il existe une formule plus simple pour protéger votre famille". J'avais déjà fait un billet il y a quelques années (sur une formule magique permettant de calculer des retraite, qui est juste une somme actualisée de flux futurs), car j'avoue être surpris qu'on utilise un tel argument... Tout d'abord, je suis assez mal à l'aise de voir qu'une direction d'une compagnie d'assurance (composée d'actuaires, qui sont censés avoir appris des choses plus compliquées que la dérivée d'un polynôme de degré 2... enfin, j'espère) nous explique - avec ce genre de formule - qu'ils font des choses qui sembleraient compliquées. Auquel cas, ça dévalorise fortement le travail des actuaires dans cette compagnie. De plus, je ne suis pas historien des maths, mais je croyais que les mathématiques permettent de simplifier à l'aide de quelques symboles des concepts qu'il serait compliqué de verbaliser. De la même manière, j'étais toujours surpris quand on me demandait, en France, de mettre moins d'équations dans mes transparents: les équations sont une version synthétique d'un concept souvent compliqué. Ne pas mettre des équations veut dire couvrir de texte des transparents alors qu'une image, un dessin voire une équation crée de la simplicité...

Saturday, March 19 2011

"je comprends pas tout, mais j'aime bien"

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/.2249021524.4_s.jpgPlusieurs fois, j'ai lu des commentaires sur le blog (ou sur le premier, à Rennes 1) commençant par quelque chose du genre "j'ai bien aimé même si j'ai pas tout compris"...
Étrangement, je pense à cette phrase régulièrement depuis quelques mois. En fait, en novembre dernier, j'avais acheté pour mon fils un livre écrit par Ivar Ekeland, Le chat au pays des nombres. S'il a bien aimé, c'est sans commune mesure avec la passion que voue ma fille pour ce livre ! Je dois lui lire au moins une fois par semaine ! Elle ne s'en lasse pas ! Et moi non plus d'ailleurs (je finirais par mieux connaitre ce livre que celui de théorie des jeux qu'il avait publié il y a un peu plus longtemps).
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/.1296324_3197388_s.jpg
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/.1296324_3197389_s.jpg
Pourtant, le livre explique tout simplement que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/ensembleQ.gif est dénombrable, en construisant une bijection entre http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/ensembleN.gif et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/ensembleNN.gif, comme l'avait Cantor (et que l'infini, c'est quand même super grand).
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/cantor_set.jpg
Et comme c'est un livre pour enfants, Ivar utilise l'approche proposée par David Hilbert (ici), à savoir l'hôtel infini. Chaque fraction (i.e. un élément de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/ensembleQ.gif, en bleu au dessus) a une place dans une chambre de l'hôtel infini (dont le numéro de chambre est dans http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/ensembleN.gif, en rouge au dessus).
Le livre est génial, et je pousse tout le monde à le livre ! Mais je ne cesse de me demander ce que ma fille en retient, ce qu'elle comprend vraiment...  Car Ivar Ekeland est formidable: il arrive à parler de concept non triviaux à des enfants de 5 ans (pour les plus grands, je peux renvoyer ici pour une relecture du papier de John Nash sur l'interprétation d'une théorème de point fixe).
(Je pourrais aussi noter que ce livre me fait aussi m'interroger sur la notion d'impact factor des publications des chercheurs. Ivar est connu dans la communauté scientifique par bon nombre de papiers théoriques publiés dans les revues les plus prestigieuses, mais je doute qu'un chercheur ait passé autant de temps sur ses articles que ma fille sur son livre.)

Tuesday, February 1 2011

Mais d'où sort la loi de Pareto ?

Un billet pour Jean François qui me demandait d'où sortait vraiment la loi de Pareto... Je ne reviendrais pas sur les applications de la loi de Pareto ici (je peux renvoyer à un ancien billet sur les applications en réassurance ici par exemple), si ce n'est pour noter que l'on apprend des choses surprenantes sur internet. Par exemple dans l'article sur la théorie du portefeuille de Wikipedia (ici) on apprend que dans le modèle moyenne-variance, les rendements sont supposés suivre une loi de Pareto...

Mais passons. La question de Jean François était sur l'origine de la loi de Pareto, et sur son lien avec la règle du 80-20. Pour les amateurs d'italien, on peut trouver les premières traces de la loi dans

(partiellement en ligne ici). Malheureusement, mes compétences en italien sont (très) limitées. Mais pour faire simple Vilfredo Pareto propose une loi en fonction puissance pour modéliser les revenus, en 1895,
Il fait également de l'estimation de son indice de queue (en calculant la pente dans le Pareto-plot comme on dirait maintenant)
Pour la version en français, on peut trouver la première apparition de la loi dans
(que l'on peut lire ici). Là encore, une illustration sur les revenus est proposée,

Le point de départ est une relation affine entre le logarithme de la fonction de répartition (ou plutôt de survie) et le logarithme du revenu,
et là encore une application est proposée (il me semble que la différence d'un point - environ - entre la version en italien et la version en français vient du fait qu'il travaille ici sur les fonctions de répartition, alors qu'auparavant, il travaillait davantage sur les densités),
Il propose alors une interprétation en terme de quantile (ce qui a été traduit par la loi du 80-20),
Alors il semble toutefois que Pareto n'est jamais explicitement noté que 20% des gens possédaient 80% de la richesse (qui a donné naissance au principe 80-20), ce qui pourrait sous-entendre que Pareto aurait devancé les travaux de Lorenz. Ce nom 80-20 semble avoir été attribué par Joseph Juran en 1954, dans un article "Pareto, Lorenz, Cournot, Bernoulli and others". Il s'en est repenti (et excusé) par la suite, dans un mea culpa (ici).
Bref, tout cela a des implications évidentes sur les politiques de redistribution de la richesse, et donc sur la façon dont doit être mis en place un système d'impôts sur le revenus... Mais c'est une autre histoire...

Tuesday, March 9 2010

Comprendre la langue des actuaires

Il y a fort longtemps, Claude Bébéar expliquait que les actuaires avaient le don d'inventer des termes, d'inventer une langue qui leur est propre (cf ici pour la référence précise). Effectivement, comme me le faisaient remarquer les étudiants, c'est parfois délicat de comprendre ce que veulent les praticiens lors des entretiens pour les stages1. Fort heureusement, les mousquetaires de SéPIA ont mis en ligne sur le site de l'institut pas mal de présentations utilisées lors des formations interne de l'institut des actuaires. On retrouvera des slides sur les normes IFRS (ici ou ), ou sur la "phase 1" (ici), sur Solvabilité II (ici), sur la notion de best estimate (ici), sur les contrats en UC (ici) ou enfin sur les modèles internes (). Beaucoup d'autres devraient suivre sur le site, ici.

1 à mon époque, tous les praticiens parlaient de value-at-risk, terme très à la mode à la fin des années 90 mais dont on ne savait pas très bien ce que ça voulait dire... jusqu'à ce qu'on apprenne que la VaR n'était qu'un simple quantile....

Friday, March 13 2009

La loi de Goodhart

Pour conclure le cours de M2 sur les mesures de risque, je voulais revenir sur la loi de Goodhart, énoncé par Charles Goodhart, alors qu'il était chief economic advisor à la Banque d'Angleterre, en 1975 (voir ici pour une analyse détaillée de la loi). L'énoncé originelle était de la forme suivante "Once a social or economic indicator or other surrogate measure is made a target for the purpose of conducting social or economic policy, then it will lose the information content that would qualify it to play such a role."
On retrouve cette loi énoncée dans le livre Economics de John Sloman, par exemple sur le contrôle des banques "If bank advances are a good indicator of aggregate demand, the government may choose to control bank lending. But as soon as it does, bank lending will become a poor indicator." Certaines personnes énoncent la loi sous la forme suivante, "when a measure becomes a target, it ceases to be a measure". Autrement dit, pour les non-anglophiles, "toute mesure qui devient un objectif cesse d'être une mesure".
Il va de soi que ce genre de remarque marche pour les mesures de risque et le contrôle, mais aussi pour des problèmes liés à l'évaluation des universités, comme les g ou h factor, ou le classement de Shanghaï.

Tuesday, March 3 2009

de derrière les fagots... (8), Ivar Ekeland raconte l'équilibre de Nash

Ivar Ekeland a donné une conférence passionnante le 21 janvier 2009 à la BNF sur "John Nash, des mathématiques au prix Nobel". Le point de départ était l'article dans les Proceedings,


(l'original peut être téléchargé ici). L'heure de conférence peut être écouté en mp3, ou bien directement sur le site de France Culture, ici. Ivar Ekeland reprend (en partie) l'exposé qu'il avait donné il y a une dizaine d'années à l'Université de tous les savoirs. On y retrouve le dilemme du penalty (reprenant le papier Pierre André Chiappori dans l'AER), l'analyse des coalitions au Monopoly, ou le problème des réunions qui ne commencent jamais à l'heure...

Tuesday, February 3 2009

de derrière les fagots... (7)

En écoutant la radio le matin ou en lisant les journaux, je me suis rendu compte qu'on parle de plus en plus des "enseignants-chercheurs", en nous présentant souvent comme des gens bizarres, venant d'une autre planète. Et si beaucoup de monde a été choqué par le discours du président de la république du 22 janvier, je pense que ce qui devrait faire peur, c'est que ce discours est peut être partagé par beaucoup de monde ! Nous venons d'une autre planète !
Et cela m'a fait pensé à un chapitre d'un vieux livre de Edward Bernays, sur les relations publiques, datant de 1928, intitulé Propaganda. Ce petit livre vient d'ailleurs de ressortir aux éditions Zones, avec une préface très intéressante de Normand Baillargeon, avec comme titre exact à la version française Propaganda: comment manipuler l'opinion en démocratie. Le livre étant ancien, on peut le trouver intégralement en ligne, par exemple en anglais ici.
Dans le cadre de la réflexion qui a lieu en ce moment, et plus particulièrement du débat sur la place du chercheur, mais aussi de l'enseignant, je recommande la lecture du Chapitre 8 sur l'enseignement. On se rend compte que la difficulté pour l'enseignant à trouver sa place dans la société ne date pas d'aujourd'hui. Bernays prétend d'ailleurs que l'enseignant n'a pas qu'une fonction de transmission d'un savoir vis à vis de ses élèves, mais plus généralement, de le diffuser au "peuple" (dans la traduction française de la première page du chapitre). Et que finalement c'est implicitement ce que nous sommes amenés à faire en nous inscrivant dans cette logique de blogs...

et sur le discours du 22 janvier, pour ceux qui ne l'ont pas eu....

Sunday, February 1 2009

de derrière les fagots... (6)

Au 9ème salon "Plumes Rebelles" qui se tenait ce week-end, comme tous les ans à la même période, à la Halle Martenot, je suis tombé sur un petit livre passionnant. Et au risque de passer pour un affreux "anarcho-autonome" et de voir débarquer le GIGN dans ma chambre plus tôt que ma fille, je voulais mentionner un petit livre sur lequel je suis tombé... et pour 50 centimes, je trouve que j'ai fait une affaire. Il s'agit d'un petit fascicule d'André Devriendt, intitulé Le mouvement mutualiste, qui reprend l'histoire du mutualisme en France, et donc de l'assurance, correspondant à ce que j'ai pu expliquer dans mon premier cours de Statistique de l'Assurance.

On y retrouve une distinction très claire entre la charité (ex-post) et l'assurance (ex-ante), le principe de mutualisation (fondement même de l'activité d'assurance), bref, une très belle histoire de l'assurance.

Sunday, January 11 2009

de derrière les fagots... (5)

Aujourd'hui, je vais parler d'un article très lucide de Claude Bébéar, sur l'actuariat, intitulé Clarté et vérité sur les comptes d’une société d’assurance sur la vie. Claude Bébéar n'est pas n'importe qui: X55, fondateur du groupe AXA (à partir d'une petite mutuelle, comme le rappelle ce portrait), et président de l'Institut des Actuaires Français de 1985 à 1989. En particulier, l'article commence par un brillant petit conte persan, à méditer...

Il était une fois un assureur sur la vie fort intelligent, éminent et respecté. Il était considéré par tous comme un grand technicien, voire un savant, qui n’avait pas son pareil pour estimer la prime à demander aux assurés et la valeur des engagements pris par l’assureur. Mais parfois, un doute le taraudait : sa science était-elle vraiment estimée ? Le vulgaire ne risquait-il pas de s’en saisir, montrer qu’il n’y avait là rien d’admirable et détruire une réputation bâtie à force de patience ? Vite, il fallait se protéger. Et c’est ainsi que notre assureur éminent, respecté et fort intelligent, inventa un langage ésotérique qu’il appela “actuariat”. Et grâce à lui, des générations d’actuaires heureux vécurent et vivent encore à l’abri des critiques, adulés de tous. Chaque année, aidés par des comptables pleins de respect, ils mettent au point un rapport annuel fort savant qu’assurés, actionnaires et contrôleurs en tous genres contemplent sans trop comprendre et sans oser poser de questions, de peur de passer pour des sots. Le système était parfait.


Friday, January 9 2009

de derrière les fagots... (4)

Cette fois un sujet qui me tient à coeur: le calcul des provisions pour sinistres à payer. En particulier, en 1938 Eugène Astesan soutenait une thèse (de droit) sur "les réserves techniques des sociétés d'assurance contre les accidents d'automobiles",

On se doute que la thèse sera peu technique, et que le risque automobile à l'époque devait être un risque un peu exotique, mais il y a des passages très intéressants. En particulier Eugène Astesan y exposé très clairement l'importance de l'utilisation des cadences de paiements. En particulier son second procédé, basé sur l'ensemble des paiements déjà effectués, propose d'utiliser explicetement la technique dit Chain-Ladder.
Notons aussi qu'Eugène Astesan est lucide sur la complexité technique de la méthode Chain-Ladder: comme il l'écrit, on ne fait finalement qu'une simple règle de trois, et rien d'autre (sur le mythe véhiculé par les actuaires, faisant croire qu'ils manipulent des outils trop techniques pour le commun des mortels, je mettrais bientôt un billet sur un article brillant de Claude Bébéar) *.

Je ne suis pas sûr que cet ouvrage soit réellement le premier à proposer la méthode Chain-Ladder. En particulier, quelques mois plus tôt, Henry proposait une méthode analogue, avec en plus la présence explicite de triangles de paiements, ainsi que l'explication du calcul des link ratio,

La littérature anglo-saxone remonte toutefois beaucoup moins loin pour justifier l'utilisation des méthodes de cadence de paiements pour calculer le montant de provision. Talyor (2001) explique ainsi

David Skurnick (dans le proceedings de la CAS) donnne les mêmes références,


* la règle de trois, parfois appelé "théorème de Thalès" sera la base du provisionnement, comme nous le verrons en cours. Mais je ferais des rappels sur cette technique savante (cf 1:08 sur la vidéo suivante pour ceux qui ne se souviennent plus trop).

de derrière les fagots... (3)

Un petit livre, ou plutôt un article "oublié" dans la revue Scandinave d'Actuariat, mais traduit en français, de Karl Gustav Hagstroem intitulé "la loi de Pareto en réassurance", datant de 1925. Si Vilfredo Pareto a proposé cette loi en 1897 (sur les revenus individuels, en notant en particulier que 20% de la population italienne possédait 80% de la richesse nationale d'où le nom de la loi 80-20), il est intéressant de noter que cette loi a trouvé très tôt une application en assurance.

Un peu plus tard, sur le même sujet, on retrouvera l'article de Claude Huyghues-Beaufond, des AGF, paru dans le ASTIN Bulletin de 1991, ou encore les document publié par Swiss Re, Estimating property excess of loss risk premium: The Pareto model. (ici) ou The Pareto model in property reinsurance (ici). On retrouve d'ailleurs dans cet ouvrage l'idée des log-log Pareto plot, représentant le logarithme des coûts en abscisse, et le logarithme de la fonction de survie empirique en ordonnée. L'importance de ces graphiques sur les risques extrêmes a d'ailleurs été soulignée par Daniel Zajdenweber dans Economie des Extremes pour étudier l'assurabilité de certains risques (voir aussi ici pour une étude plus fine, poubliée dans le Bulletin Français d'Actuariat, dans le cas du risque de perte d'exploitation).

L'importance de la loi de Pareto (voir l'article de wikipedia sur le sujet) sur les extrêmes (parfois aussi appelée loi puissance, power law, comme dans l'article de Xavier Gabais et al. dans Nature) découle du théorème de Pickands-Balkema-de Haan, qui n'a formellement été montré qu'en 1974-1975, respectivement dans les articles suivant

  • Balkema A., de Haan L. 1974. Residual life time at great age. Annals of Probability, 2, 792–801.
  • Pickands, J. 1975. Statistical Inference Using Extreme Order Statistics. Annals of Statistics, 3, 119-131.
Encore une fois, il est amusant de noter que la formalisation du résultat intuité par les actuaires a pris près de 50 ans: oui, la loi de Pareto est idéale pour modéliser la loi des excès pour les très grands seuils. Maintenant, comme le note Paul Embrechts, reste les soucis de vitesse de convergence (cf conférence ASTIN). Plus de compléments seront donnés dans le cours de statistique de l'actuariat...

Sinon pour plus d'information sur la loi de Pareto, je ne peux que renvoyer vers l'ouvrage qu'a consacré Barry Arnold en 1983 sur la loi de Pareto (dont un cours résumé est donné dans l'Encyclopedia of Statistical Science, ici)

Friday, December 19 2008

de derrière les fagots... (2)


Cette fois je voulais évoquer un livre plus (re)connu, que l'on trouve parfois évoqué dans la littérature d'économie de l'assurance (par exemple la très belle revue de littérature de Georges Dionne), mais que je n'avais jamais pu trouver avant le mois dernier. Il s'agit d'un classique de l'assurance, d'Henri Loubergé intitulé "économie et finance de l'assurance et de la réassurance", chez Dalloz, datant de 1981. Ce livre semble épuisé (y compris une version datée de 2000). Henri Loubergé publie régulièrement des articles passionnant dans le domaine de l'économie du risque (cf http://www.unige.ch/), et je regrette de ne pas avoir eu d'exemplaire de son livre avant d'écrire le chapitre d'économie de l'assurance dans l'ouvrage avec Michel Denuit:


Mais si ce livre est cité par de nombreux auteurs en assurance, je suis retombé un peu par hasard sur les deux chapitres de finance qui valent le détour (et qui rejoignent les thèmes évoqués dans l'ouvrage de Serge Christophe Kolm dans un précédant billet).

Tuesday, December 16 2008

de derrière les fagots... (1)

En trainant chez des bouquinistes et dans les bibliothèques universitaires, je suis tombé sur quelques ouvrages malheureusement méconnus, et remarquables ! Pour commencer, un très beau livre de Serge Christophe Kolm intitulé "les choix financiers et monétaires", chez Dunod, datant de 1967. Ce livre semble épuisé, mais il est extraordinairement contemporain.

Serge Christophe Kolm est un auteur (trop) méconnu, en France en tous cas. Toutes les personnes qui ont aimé John Rawls (en particulier le Théorie de la Justice) doivent lire Serge Christophe Kolm ! Il est connu pour ses ouvrages des années 80, en particulier Philosophie de l’économie, Le contrat social libéral ou encore Le libéralisme moderne, ou en recherche académique sur ses réflexions sur les mesures d'inégalités (en particulier les "unequal inequalities" dans Journal of Economic Theory, ou le survey "Measurement of inequality" dans le Handbook of Income Distribution), mais sa réflexion sur les mathématiques financières est très intéressante.