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Teaching › microéconomie - X-09/10

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Thursday, October 15 2009

ECO431, neuvième cours: Représentation de l'équilibre de Stackelberg

On considère deux entreprises avec des fonctions de coût

http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ergzeh57645.png et http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zev654+54h6.png
La demande total des consommateurs se traduit par une fonction de
demande inverse
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/5z46gh546.png où  http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/v6e8z4684.png.
Bref, le profit de l'entreprise 1 est alors
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/rzh68464hb65zr46.png
soit
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ezg6546546.png
et on a une expression similaire pour l'entreprise 2. La courbe d'isoprofit pour l'entreprise 1 est
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ze3v5ez4v654ze6v.png
Si on recherche l'équilibre de Cournot, chaque entreprise va essayer de maximiser son profit, i.e. pour l'entreprise 1, on cherche
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ez6f87468z4.png
La condition du premier ordre donne
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zg4z654g6.png
soit
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/g64er65g46er54g6er54g6er54g6.png
On parle alors de fonction de réaction. Pareil, on obtient
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ze4686z8v7ze68v76z85v.png
en maximisant le profit de l'entreprise 2. L'équilibre de Cournot est le point d'intersection des deux fonctions de réaction, mais on peut aussi y voir une recherche de point fixe, i.e. on veut que
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/e+b5er46b54e6r.png et http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zev4z6e54v632.png
Bref, en l'occurence, le point d'équilibre est obtenu en résolvant
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/68e4rg9684er68g4er.png
(avec une équation similaire en http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/y2.png).
Pour l'équilibre de Stackelberg, on suppose par exemple que la firme 1 domine l'autre: elle va chercher à maximiser son profit en supposant que l'autre prenne une décision suivant sa fonction de réaction.Elle va donc chercher
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z4vze541v3213.png
L'interprétation graphique est la suivante. Traçons les courbes d'isoprofit de l'entreprise 1 (en vert), soit
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ze3v5ez4v654ze6v.png
L'équilibbre est forcément sur la fonction de réponse de l'entreprise 2, c'est à dire la courbe rouge. L'aire jaune signifie qu'il est possible d'améliorer le profit de l'entreprise 1 (plus la courbe verte est base, plus grand est le profit). La courbe orange est alors l'ensemble des points accessibles par 1, qui correspondent à une réponse de 2. Aussi, l'équilibre se Stackelberg (le point mauve sur le graphique ci-dessous) appartient à cette courbe. Il suffit de trouver le point correspondant au profil maximal de l'entreprise 1 (ce que l'on voit lorsque les courbe verte se déplacent vers le bas).

Aussi, l'équilibre de Stackelberg est obtenu en cherchant le point de tangence entre une courbe d'isoprofit de la firme 1 (c'est le programme de la première firme qui veut maximiser son profit) et la courbe de réponse (l'entreprise 2 se contenant de répondre à la production de l'entreprise dominante).

Monday, October 12 2009

ECO431, huitième cours: Optimum de Pareto

Les exercices de la PC8 sont en ligne ici et (merci à Yukio pour la dernière feuille), et ceux de la PC9 ici.

  • Définition de l'optimalité au sens de Pareto
Tout d'abord, pour la petite histoire, Wilfredo Pareto (1848-1923) a pris la suite de Walras à la chaire d’économie politique à l’Université de Lausanne quand celui-ci est parti à la retraite. C’est dans son « Manuel d’économie politique » que se trouve son apport décisif sur l’optimum économique. D’abord, en passant de l'hypothèse walrasienne de cardinalité à celle d'ordinalité des préférences et de l’utilité, ce qui l’amène à privilégier la notion de courbes d’indifférence qu’il emprunte aux travaux d’Edgeworth. Ensuite, et surtout, il va introduire un critère de définition de l'optimum économique.
Le critère d'optimalité paretienne est proche de la conception utilitariste de la justice sociale héritée de John Bentham (et donc dans l'individualisme): une allocation Pareto-optimale est nécessairement « individuellement rationnelle » en ce sens que chaque agent la préfère à sa dotation initiale. Or, une allocation individuellement rationnelle n'est pas toujours « équitable » en ce sens qu'un agent au moins peut avoir envie d'une allocation obtenue par un autre agent. Pour dépasser les limites du critère paretien, d'autres conceptions de l'équité que l'utilitarisme ont été intoduite, que ce soit la conception libertarienne (avec von Mises, Hayek et Nozick) ou la conception libérale-égalitaire (avec en particulier Rawls et Sen). Pour reprendre la terminologie de Gérard Debreu (1966) un optimum est  « un état réalisable auquel n'est préféré aucun état réalisable ». Connaissant (décrétant) l'optimum , le marché doit déterminer l'équilibre général correspondant. Elle doit donc trouver les prix relatifs "fictifs" ou "prix ombres" comme certains les ont appelés.
D'un point de vue quantitatif, l'utilité d'un individu X doit être est maximale sous contrainte que celle de Y doit rester supérieure à un niveau donné. Supposons que les deux consommateurs consomment deux biens, notés (1) et (2),
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ipjpoihezc.png
sous contraintes
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/efzef.png
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zacafgzegr.png
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zceczeczeczergrher.png
où http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zefgrhtjhjht.png et http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zenklkn.png désignent les quantités des deux biens qui sont disponibles, respectivement. Classiquement, on résout ce programme d'optimisation à l'aide du lagrangien
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/rtrnnreverj.png
les conditions du premier ordre donnent
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/erhjjjrt-jk.png
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zeghzhr.png
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zehrejherj.png
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/rherjetjkrtk.png
On en déduit alors simple que
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zegbhzrbn.png
ce qui correspond à une égalité des TMS à l'équilibre.
Formellement, on retombe sur des équations semblables en considérant le programme d'optimisation suivant
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ippipiyout.png
Le point optimal est obtenu à l'aide du diagramme d'Edgeworth (je peux renvoyer ici pour des slides d'Abdul Noury expliquant simplement la construction, et la lecture, de ce diagramme). Sur le dessin ci-dessous, on la région verte est l'ensemble des allocations pour lesquelles on augmente à la fois l'utilité de X et de Y,

Le théorème de bien être nous garantie que tout optimum de Pareto dans l'espace des répartitions des biens est atteignable en situation de concurrence pure est parfaite moyennant une redistribution forfaitaire des dotations initiales. En fait, tout se passe comme si les deux consommateurs étaient face l'un à l'autre pour négocier des échanges de bien (1) contre bien (2) et réciproquement, dans le but d'améliorer leur bien-être.
Le TMS représente le prix « psychologique » d'échange entre (1) et  (2) pour le consommateur considéré, c'est-à-dire la quantité maximum de (2) qu'un agent accepte de céder pour avoir une quantité infinitésimale supplémentaire de (1). Le TMS correspond à un prix psychologique limite. On arrive finallement à la conclusion qu'un état optimal doit être un état réalisable (avec saturation des contraintes, i.e. pour chaque bien, la somme des quantités allouées aux deux consommateurs doit être égale à sa quantité totale disponible) et cet état doit être efficient, en vérifiant l'égalisation des TMS pour les deux consommateurs.
  • Optimalité au sens de Pareto à la cantine
Lorsque j'étais élève à l'ensae, je ne sais plus quel prof nous avait illustré l'optimalité au sens de Pareto à partir du passage à la cantine de l'insee... Quand on va chercher de l'eau à la fontaine à eau, il y a deux arrivées d'eau, mais qui se fournissent à la même source. Autrement dit, si deux personnes se servent en même temps, le débit est deux fois plus faible que si une seule personne se sert. De mémoire, si on est seul à prendre de l'eau, il faut environ 30 secondes pour remplir un pichet. Supposons que j'arrive à la fontaine à eau, et que quelqu'un soit en train de servir depuis 10 secondes. Deux possibilités s'offrent à moi,
  • commencer à me servir dès que j'arrive: la première personne a fini de se servir au bout de 40 secondes, et 50 secondes pour moi
  • attendre que la personne qui se sert ait fini: la première personne a fini de se servir au bout de 20 secondes, et moi 50 secondes
Bon, le raisonnement n'a de sens que si personne ne vient entre temps se servir sur l'autre fontaine (ou alors qu'au moins elle tienne le même raisonnement que moi, c'est à dire qu'elle attende que j'ai fini avant de se servir).

Si je compara les deux situations, on voit que le second cas permet à l'autre personne d'améliorer strictement la situation. Autrement dit l'optimum de Pareto est d'attendre que l'autre personne se soit servi avant de se servir.