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Teaching › actuariat - M2-09/10

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Thursday, April 8 2010

Les lois de la famille exponentielle

Lors d'une formation sur les techniques économétriques utilisées en assurance (et pour expliquer l'origine de la fonction de lien canonique), j'avais été obligé de revenir sur la forme des lois de la famille exponentielle. Et comme je me suis rendu compte que tout était éparpillé sur mon blog dans des anciens billets, je me suis dit que ça pourrait être l'occasion de faire un billet dédié à cette notion. Pour aller (beaucoup) plus loin sur la famille exponentielle, je renvoie au livre de Lawrence Brown Fundamentals of statistical exponential families with applications in statistical decision theory (ici).

  • La famille exponentielle
Commençons par donner la forme de cette loi, en l'occurrence via sa densité (ou mesure de proba dans le cas discret),
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-01.png
Dans cette famille, on retrouvera la loi normale http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-02.png est de la forme précédente, avec http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-03.pnghttp://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-04.png, http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-05.png et
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-06.png
La loi de Poisson http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-07.png s'écrit
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-08.png
soit http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-09.png, http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-10.png, .http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-11.png et http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-12.png.
La loi binomiale http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-13.png correspond au cas http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-14.png, http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-15.png, et
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-17.png

Enfin, la loi Gamma,
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-18.png
qui peut se mettre sous la forme précédente avec
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-19.png
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-20.png ou encore http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-21.png . On retrouve ces lois dans le tableau ci-dessous

  • Les moments d'une variable de la famille exponentielle
Pour une variable aléatoire http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-22.png dont la densité est de la forme exponentielle, alors
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-23.png
et
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-24.png
Autrement dit, la variance de http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-22.png apparaît comme le produit de deux fonctions:
  • la première, http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-25.png, qui dépend uniquement du  paramètre http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-26.png est appelée fonction variance
  • la seconde est indépendante de http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-26.png et dépend uniquement de http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-27.png
En notant http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-28.png, on voit que le paramètre http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-26.png est lié à la moyenne http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-82.png . La fonction variance peut donc être définie en fonction de http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-82.png, nous la noterons dorénavant http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-29.png.
Loi Fonction variance
normale http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-30.png
Poisson http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-31.png
Gamma http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-32.png
Tweedie http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-33.png
Sous des conditions de régularité assez générales, on peut montrer que la fonction variance caractérise la forme de la distribution au sein de la famille exponentielle. 
  • Importance en statistique paramétrique
Considérons des variables aléatoires indépendantes mais non identiquement distribuées http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-40.png, telles que la densité de http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-41.png s'écrive
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-42.png
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-43.png désigne l'exposition (dans une terminologie assurantielle).
La densité jointe de http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-40.png est
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-44.png
soit
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-45.png
La vraisemblance est alors
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-46.png
Le théorème de Darmois (ou Pitman–Koopman–Darmois) nous donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une distribution f(y|\theta) admette une statistique exhaustive pour le paramètre http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-26.png: il faut que la loi soit dans la famille exponentielle (ici pour le papier de Darmois, sur les lois de probabilités à estimation exhaustive, ici pour les travaux de Fisher qu'il mentionne, ou ici pour une relecture par Don Fraser).

De plus, on a également le théorème dit de Rao-Blackwell, qui nous dit qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une fonction du paramètre http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-26.png admettant un estimateur sans biais efficace (la variance de cet estimateur coïncide avec avec la borne inférieure de Cramér-Rao) est que la loi soit dans la famille exponentielle. Bon, en fait il faut des hypothèses supplémentaires de régularité, mais on va dire que ça marche (en fait, il est possible de trouver des familles de lois qui ne sont pas dans la famille exponentielle pour lesquelles il existe un estimateur sans biais efficace de http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/expon-01.png). Ce résultat est d'autant plus intéressant qu'il garantit d'avoir un estimateur efficace (et pas asymptotiquement efficace comme généralement en statistique inférentielle).
On peut aussi montrer un paquet d'autres résultats. Par exemple, si http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-40.png est un échantillon i.i.d. de loi dans la famille exponentielle alors la loi de la somme http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/expon-02.png est également dans la famille exponentielle, et l'estimateur du maximum de vraisemblance est solution d'un problème de la forme
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/expon-03.png
Par exemple pour la loi de Poisson, on a que http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/expon-04.png, ou encore
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/expon-05.png
Enfin, l'information de Fisher est http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/expon-06.png, ce qui donne une convergence asymptotique de la forme
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/expon-07.png
Bref, il existe un tas d'autres applications de cette notion de famille exponentielle, je renvoie au paragraphe 5.2 dans le  Statistical Models de Davison.
  • Importance en économétrie
David Clark et Charles Thayer ont fait un joli papier dans les comptes rendus de la CAS sur l'importance de la loi exponentielle pour les actuaires, ici. Les http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-50.png sont fonction d'un ensemble de http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-51.png paramètres http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-52.png. Si http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-53.png désigne la moyenne de http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-41.png, on suppose que
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-54.png
où http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-55.png, supposée monotone (ce qui la rend inversible et rend le modèle identifiable) et dérivable, est appelée fonction de lien, le vecteur http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-56.png contient des variables explicatives relatives à l'individu i et le vecteur http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-81.png contient les http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-51.png paramètres. Chacune des lois de la famille exponentielle possède une fonction de lien spécifique, dite fonction de lien canonique, permettant de relier l'espérance au paramètre naturel http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-26.png. Le lien canonique est tel que http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-34.png. Or, http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-35.png donc http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-36.png.
Loi Lien canonique
normale http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-60.png
Poisson http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-61.png
Gamma http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-61.png
Binomiale http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-63.png

On rappellera que la vraisemblance n'est peut être pas l'outil approprié pour juger de la qualité d'un modèle. On définit la qualité d'un modèle en prenant comme référence le "modèle saturé" comptant autant de paramètres que d'observations et fournissant donc une description parfaite des données. Le modèle saturé est caractérisé par http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-70.png. La vraisemblance associée à ce modèle sera notée
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-71.png
En pratique, ce modèle n'est pas intéressant puisqu'il se borne à reproduire les observations, sans les résumer. Considérons un modèle pour lequel le paramètre http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-81.png est de dimension http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-51.png.
Le modèle décrira bien les données lorsque
 http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-83.png
et mal lorsque
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-84.png
On peut donc penser que regarder le rapport de vraisemblance
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-72.png
pourrait être pertinent en vue de mesurer la qualité de l'ajustement des données par un modèle ou, de manière équivalente, on peut calculer
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-73.png
On posera alors http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-74.png, qui sera appelée la déviance réduite dans le cadre des modèles linéaires généralisés. La déviance non réduite est elle donnée par http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-80.png. Une grande valeur de cette quantité laisse à penser que le modèle est de piètre qualité. Dans le cas d'une loi de Poisson
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-75.png
or comme
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-78.png
on en déduit que la déviance s'écrit
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fam-exp-76.png
  • Importance en statistique bayésienne
En statistique bayésienne, les lois de la famille exponentielle sont pratiques de part les facilités de calculs qu'elles peuvent induire, en particulier lors des calculs de loi a posteriori.

(pour reprendre le tableau du livre de Christian Robert).

Friday, March 5 2010

Les tables de mortalité

Chose promise, chose due, un court billet expliquant les principales tables utilisées,

  • Les tables TD et TV 88-90
Ces tables datent un peu, et si je continue à en parler en cours, c'est parce qu'elles sont simples à utiliser (et pour continuer à me faire croire que je n'ai pas vieilli depuis mes études). Cette table est d'ailleurs tellement sérieuse qu'on la retrouve dans la loi (ici), dans un arrêté d'avril 1993. La table dite TD 88-90 (pour Décès) a été établie par l'INSEE suite aux observations réalisées entre 1988 et 1990 sur une population d'hommes. Elle était appliquée pour le calcul des primes des contrats d'assurance décès. La table dite TV 88-90 (pour Vie) a été établie par l'INSEE suite aux observations réalisées entre 1988 et 1990 sur une population de femmes. Elle était appliquée pour le calcul des primes des contrats d'assurance en cas de vie. Ces tables peuvent se récupérer à l'aide des codes suivants,
> TD=read.table("http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/TD8890.csv",
+ sep=";",header=TRUE)

> TV=read.table("http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/TV8890.csv",
+ sep=";",header=TRUE)

Ces tables ont été remplacées par les tables dites TH et TF, respectivement.
  • Les tables TH et TF 00-02
Ces tables ont été établies à partir des données INSEE de la population française entre 2000 et 2002 et ont été lissées. Ce sont des tables générationnelles, qui nécessitent un correctif d’âge pour tenir compte des écarts de mortalité entre générations. Elles sont applicables à partir du 1er janvier 2006. L'institut des actuaires a proposé une "notice d'utilisation" en ligne ici, et Cimon en avait parlé sur son blog ().
  • Les tables TPRV 95
La table TPRV 93 (pour Table Prospective de Rente Viagère) est un extrait de la table dite plancher pour la tarification des contrats de rente viagère. Elle a été publiée par l’arrêté du 28 juillet 1993 (ici sans les annexes), et correspond à une table prospective qui retrace la mortalité des générations 1887 à 1993 (les tables prospectives sont au programme de Master 2).

La TPRV 93 représente la table complète de la génération 1950. La table est en ligne ici (en csv) lisible sous R avec le code suivant,
> TD=read.table("http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/TPRV.csv",
+ sep=";",header=TRUE)

Mais ce n'est que la première étape. On utilise ensuite un décallage d'âge.

On a parlé de ce point en TD (mais sur les taux de mortalité), c'est aussi ce qui s'appelle l'hypothèse de Rueff, et traduit la diminution des taux de mortalité par un rajeunissement (i.e. un gain sur les âges), i.e.
Notons qu'en fait,  dépend du niveau des taux d'intérêt. L'ensemble des tables de décallage sont en ligne ici.
  • Les tables TGH et TGF 05
Il s'agit ici, là encore, d'une population de rentiers, comme pour la (ici pour les 38 pages du code). Aussi, ces tables ont été construites sur une population différente des tables TH et TF (construites sur l'ensemble de la population française). La méthodologie est décrite ici.

 

Thursday, February 25 2010

Provisionnement et règle de trois

Longtemps, dans les formations d'actuariat, le provisionnement était un sujet traité en 2 heures, car malgré son importance stratégique dans les résultats d'une entreprise d'assurance, il ne s'agissait que d'une "règle de trois".

  • De l'importance des provisions en assurance
D'un point de vue comptable, les provisions pour sinistres à payer sont une quantification des engagements pris par l'assureur envers ses assurés. En reprenant des vieux tableaux dans l'Argus, avec une compagnie d'assurance spécialisée en grands risques (AXA Corporate Solutions), une mutuelle (MAIF), et une autre société anonyme (Groupama), on obtient

Pour les grands risques, on notera que le montant de provision (plus de 5 milliards) est plus de 3 fois supérieur au montant des primes encaissées (1,5 milliards). Aussi, si l'on pense qu'il faut augmenter de 5% le montant des provisions (ce qui pourrait paraître acceptable à un statisticien) il faudrait augmenter le chiffre d'affaire de 15%.
  • Histoire de la "règle de trois"
Le Petit Robert prétendait que l'expression « règle de trois » remontrait à 1538, même si le résultat sous-jacent est tout simplement le théorème de Thalès… Les manuels d'arithmétiques expliquaient ainsi que "la règle de trois est la méthode servant à résoudre les problèmes dans lesquels, étant données des grandeurs pouvant former les trois termes d’une proportion, on demande de trouver le quatrième terme". On peut retrouver beaucoup plus d'infos sur le site images des mathématiques (ici) ou (), où on trouve d'ailleurs cette illustration,

La "règle de trois" est aussi le premier souvenir de raisonnement mathématique exposée par Paul Lévy dans sa biographie ("quelques aspects de la pensée d'un mathématicien"), lorsqu'il raconte qu'à 7 ans, il tenait la main d'une fille de 12 ans, il était surpris de lever la main. En effet, certes la jeune fille était plus grande que lui, mais son bras devait également être plus grand. Il compris alors le principe des règles de proportionnalité.
Bref, comme toujours, les actuaires ont inventé un nouveau mot pour la "règle de trois" (je renvoie à un vieux papier de Claude Bébéar sur la novlangue utilisée par les actuaires, ici, mais je reviendrais longuement sur le jargon une autre fois).
  • Les méthodes de provisionnement: Chain Ladder
J'avais évoqué il y a quelques temps les travaux d'Eugène Astesan (ici), précurseur de la méthode Chain Ladder, même si l'estimateur qu'il avait alors proposé n'était pas celui de variance minimale dans la classe des estimateurs. Les premiers travaux sur les modèles stochastiques de provisionnement ont chercher à justifier la règle de trois, par exemple via le papier de Thomas Mack "which stochastic model is underlying the chain ladder method" (ici).
Pour venir deux minutes sur la méthode "chain ladder", par exemple à l'aide du triangle suivant, on peut estimer les montants à payer (dans la partie inférieure) via une simple règle de trois. Considérons le triangle suivant, tiré du livre de Partar, Lecoeur, Nessi,  Nisipasu et Reiz

Pour la seconde colonne, on fait une simple règle de trois, en calculant les sommes sur chacune des colonnes,

Aussi, ici,

i.e.

117,945 = 56,762 x 440,438 / 211,961 
On peut ensuite passer à la troisième colonne, puis la quatrième, etc. La règle de trois donne ici

Voici pour la méthode dite "chain ladder". Et Thomas Mack a été le premier à essayer de quantifier l'erreur de prédiction commise en utilisant cet estimateur. En particulier, les travaux théoriques des années 90 ont essayer d'étudier l'incertitude associée à l'estimation de la charge ultime, calculée aujourd'hui. Comme le notait un article paru dans l'Argus, les compagnies d'assurance qui utilisaient ces techniques étaient encore rares il y a 5 ans (et celles qui le faisaient cherchaient également à le faire savoir, ici). Mais les derniers documents (ici ou ) partent sur un objectif radicalement différent, que j'exposerais d'ici quelques jours, en revenant sur la novlangue des récents papiers sur le provisionnement..

Friday, January 8 2010

Market valuation des garanties des produits d'assurance

Pour le dernier cours d'actuariat 2, on parlera de market valuation, i.e. de valorisation financière. Je vais aussi en profiter pour éclairer Bruno (pour qui j'avais déjà commencé à poster des billets sur le contrôle optimal) sur "comment introduit-t-on la mesure risque neutre dans un passif ?" , sous-entendu en assurance-vie (en assurance non-vie c'est à mon avis plus compliqué, mais c'est la question que l'on se pose quand on valoriser des cat-bonds par exemple). Notons que ce problème s'est posé assez tôt dans la littérature économique, je renverrais par exemple au papier de Brennan et Schwartz en 1976.

  • Valorisation de produits financiers (en marché complet)
Je passerais un peu rapidement (en renvoyant ici ou là pour les grands principes), mais les techniques principales pour valoriser les actifs financiers sont les prix d'Arrow-Debreu, les probabilités risque-neutre, et les déflateurs. Mais auparavant, rappelons que le marché est composé de n actifs financiers (bien distincts) dont les prix et les payoffs sont parfaitement connus, et de n états de la natures, de telle sorte que la matrice des payoffs soit de plein rang. Introduisons le concept de portefeuillle de réplication. Compte tenu du fait que la matrice des payoffs est de plein rang, on a l'existence et l'unicité d'un tel portefeuille. Considérons un ensemble de payoff contingents aux états de la nature
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-17.png
Il est alors possible de créer un portefeuille (dit de réplication) qui permette de toucher précisément ces payoffs à la date 1. Le prix (à la date 0) d'un tel actif est alors le prix du portefeuille de réplication.
Considérons les actifs rapportant 1 dans un état de la nature, et 0 sinon, à la date 1, i.e.
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-16.png
appelés actifs d'Arrow-Debreu. On note http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-15.png le prix aujourd'hui d'un tel actif. Notons que le prix d'un actif sans risque, rapportant 1 demain dans tous les états du monde est http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-1.png. Aussi, si on note http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-14.png le taux sans risque, alors
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/correc.png
Le prix de l'actif rapportant http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-12.png à la date 1 est alors http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-10.png.
Posons http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-09.png tel que http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-08.png soit une distribution de probabilité. Alors
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-09.png
où l'espérance est prix sous la mesure de probabilité http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-pst.pngappelée probabilité risque-neutre.
Je renvoie ici (par exemple) pour l'introdution de cette probabilité via les arbres binomiaux. Bref, c'est ainsi que l'on arrive au théorème fondamental de la valorisation d'actif en marché complet: le prix d'un actif contingent l'espérance sous probabilité risque neutre, des payoff actualisés.
Aussi, prenons l'exemple d'un put européen, de maturité T et de strike K. Le prix (à la date 0) du put est donné par
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-01.png
Rappelons d'ailleurs que la formule de Black et Scholes donne un prix pour un tel produit financier (un put européen),
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BSC01.png
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BSC02.png
et
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BSC03.png
Voilà rapidement comment on valorise un produit financier en marché complet, en calculant la valeur d'un portefeuille de réplication.

  • Valorisation de produits d'assurance
Pour valoriser les produits d'assurance, classiquement, on calcule des primes pures, ou des valeurs actuelles probables. Par exemple en assurance-vie (car c'est essentiellement de ça dont on parle non ?), considérons simplement une garantie plancher, où l'on s'engage à verser 1€ au décès d'un souscripteur. La valeur actuelle probable (que l'on calcule sous la  probabilité historique) est alors
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-02.png
que l'on pourrra réécrire
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-03.png
(où j'adopte une convention de temps continu pour les taux pour garder une analogie avec le cas financier, mais ça n'est pas vraiment important ici). Bref, par rapport à la valorisation financière on valorise toujours des flux futurs (payoffs) actualisés, mais en prenant l'espérance sous la probabilité historique. Et c'est généralement comme ça que l'on valorise un produit d'assurance: les risques ne sont pas échangés sur des marchés liquides, on n'a donc pas vraimentt de marché complet, et les assureurs espèrent simplement que la mutualisation (via la loi des grands nombres) leur permettra d'avoir égalité entre les flux entrants et les flux sortants.
Remarque: j'avais fait l'an dernier un rapide billet sur la transformée d'Esscher (ici) qui présentait une méthode conciliant les deux approches. Mais je suis toujours à la recherche du papier original (datant de 1932) pour proposer une nouvelle discussion sur ce sujet...
  • Valorisation des garanties planchers dans les contrats d'assurance vie, une approche heuristique
Là où les choses se compliquent c'est quand on mélange des garanties d'assurance (un décès) avec des garanties financières (sur des taux ou bien un actif financier pour des contats en unité de compte). Considérons pour cela un contrat décès, où l'assureur s'engage à payer, au moment du décès à la date http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-tau.png le maximum entre la somme investie en actif risqué à la signature du contrat, http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-07.png et le niveau atteint par l'actif lors du décès, http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-06.png. Autrement dit, l'assureur s'engage à verser http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-05.png. De manière plus général, disons qu'il existe une valeur plancher en dessous de laquelle on ne descendra pas, que l'on notera K.
Notons que l'on peut réécrire le payoff
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-04.png
Le terme de gauche est la valeur de l'actif, et le second terme peut être interprété comme la valeur de la garantie plancher. Par la suite, on ne s'intéressera qu'à la valeur de cette garantie. Le flux versé (pour cette garantie) à la date t, pour un individu d'âge x à la souscription est alors tout simplement
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-04.png
(les dates étant supposées discrètes ici). Si l'on cherche à calculer la valeur actuelle probable de l'ensemble des flux, on voit que deux espaces de probabilités intervienne: l'espace des probabilités actuarielles (sous lesquelles on couvre le risque de décès en supposant les risques mutualisables, i.e. l'univers historique http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-05.png) et l'espace des probabilités financières (sous lesquelles on couvre le risque financiers, i.e. l'univers risque neutre http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-06.png). Autrement dit, la valeur actuelle probable s'écrit
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-07.png
que l'on pourrrait réécrire
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-08.png
où le terme à droite est le prix d'un call de strike K de maturité t.
Notons que la commission de contrôle s'était penché sur le sujet il y a quelques années, via le mémoire d'actuariat de Sylvain Merlus et Olivier Pequeux (ici), et c'est ce genre de formule qui avait été proposé, à savoir de faire somme somme de prix de put. Et c'est cette approche que  la réglementation a imposé de valoriser cette garantie.
Pour aller plus loin, il avait aussi été précaunisé d'utiliser la formule de Black et Scholes pour valoriser ces puts, ce qui a donné la formule "standard"
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-03.png

http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-02.png
et
http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-01.png
Voilà comment on valorise une telle garantie. Je n'ai parlé de la couverture, car on voit qu'elle ne serait pas parfaite, loin de là.
Comme toutes les formules standards, elle a l'avantage de la simplicité. 
Bon formellement, si on veut faire ça proprement, ça risque d'êetre plus compliqué, et il faudrait parler des mesures risques neutre forward, mais on fera ça une autre fois. Sinon tout ça est repris dans une multitude de documents que l'on peut trouver ici, , voire ici ou encore . Et pour aller plus loin, il y a eu récemment pas mal de livres qui abordent ces sujets....