Lors d'une formation sur les techniques économétriques utilisées en assurance (et pour expliquer l'origine de la fonction de lien canonique), j'avais été obligé de revenir sur la forme des lois de la famille exponentielle. Et comme je me suis rendu compte que tout était éparpillé sur mon blog dans des anciens billets, je me suis dit que ça pourrait être l'occasion de faire un billet dédié à cette notion. Pour aller (beaucoup) plus loin sur la famille exponentielle, je renvoie au livre de Lawrence Brown Fundamentals of statistical exponential families with applications in statistical decision theory (ici).
- La famille exponentielle
est de la forme précédente,
avec 
, 
, 
et
s'écrit
, 
, .
et 
.La loi binomiale
correspond au cas 
, 
, et 
Enfin, la loi Gamma,
ou encore 
. On retrouve ces lois dans le tableau ci-dessous
- Les moments d'une variable de la famille exponentielle
dont la densité est de la forme exponentielle, alors
apparaît comme le produit de deux fonctions: - la première,
, qui dépend uniquement du paramètre 
est appelée fonction variance - la seconde est indépendante de et dépend uniquement de
, on voit que le paramètre est
lié à la moyenne 
. La fonction variance peut donc être
définie en fonction de , nous la noterons dorénavant 
.| Loi | Fonction variance |
| normale |  |
| Poisson |  |
| Gamma |  |
| Tweedie |  |
- Importance en statistique paramétrique
, telles que
la densité de 
s'écrive
désigne l'exposition (dans une terminologie assurantielle).La densité jointe de
est
: il faut que la loi soit dans la famille exponentielle (ici pour le papier de Darmois, sur les lois de probabilités à estimation exhaustive, ici pour les travaux de Fisher qu'il mentionne, ou ici pour une relecture par Don Fraser). 
admettant un estimateur
sans biais efficace
(la variance de cet estimateur coïncide avec avec la borne
inférieure de Cramér-Rao) est que la loi soit dans la
famille exponentielle. Bon, en fait il faut des hypothèses
supplémentaires de régularité, mais on va dire que
ça marche (en fait, il est possible de trouver des familles de
lois qui ne sont pas dans la famille exponentielle pour lesquelles il
existe un estimateur sans biais efficace de 
). Ce
résultat est d'autant plus intéressant qu'il garantit
d'avoir un estimateur efficace (et pas asymptotiquement efficace comme
généralement en statistique inférentielle).On peut aussi montrer un paquet d'autres résultats. Par exemple, si
est un échantillon i.i.d. de loi dans la
famille exponentielle alors la loi de la somme 
est également dans la famille exponentielle,
et l'estimateur du maximum de vraisemblance est solution d'un
problème de la forme
, ou encore 
, ce qui donne une convergence asymptotique de la forme
- Importance en économétrie
sont fonction d'un ensemble de 
paramètres 
. Si 
désigne la moyenne de , on suppose que
,
supposée monotone (ce qui la rend inversible et rend le
modèle identifiable) et dérivable, est
appelée fonction de lien,
le vecteur 
contient des variables explicatives
relatives à l'individu i et le vecteur 
contient les paramètres. Chacune des lois de la famille exponentielle possède une fonction de lien spécifique, dite fonction de lien canonique,
permettant de relier l'espérance au paramètre naturel . Le lien canonique est tel que 
. Or, 
donc 
.| Loi | Lien canonique |
| normale |  |
| Poisson |  |
| Gamma | |
| Binomiale |  |
On rappellera que la vraisemblance n'est peut être pas l'outil approprié pour juger de la qualité d'un modèle. On définit la qualité d'un modèle en prenant comme référence le "modèle saturé" comptant autant de paramètres que d'observations et fournissant donc une description parfaite des données. Le modèle saturé est caractérisé par
. La vraisemblance associée à ce modèle sera notée 
est de dimension .Le modèle décrira bien les données lorsque
, qui sera appelée la déviance réduite
dans le cadre des modèles linéaires
généralisés. La déviance non réduite
est elle donnée par 
.
Une grande valeur de cette quantité laisse à penser que
le modèle est de piètre qualité. Dans le cas d'une
loi de Poisson
or comme
on en déduit que la déviance s'écrit
- Importance en statistique bayésienne
dépend du niveau des taux d'intérêt. L'ensemble des tables de décallage sont en ligne 
le prix aujourd'hui d'un tel actif. Notons que le prix d'un actif sans
risque, rapportant 1 demain dans tous les états du monde est 
. Aussi, si on note 
le taux sans risque, alors 
à la date 1 est alors 
.
tel que 
soit une distribution de probabilité. Alors
appelée 
le maximum entre la somme investie en actif risqué à la signature du contrat, 
et le niveau atteint par l'actif lors du décès, 
. Autrement dit, l'assureur s'engage à verser 
. De manière plus général, disons qu'il existe une
valeur plancher en dessous de laquelle on ne descendra pas, que l'on
notera K.
) et l'espace des probabilités
financières (sous lesquelles on couvre le risque financiers,
i.e. l'univers 
). Autrement dit, la valeur actuelle probable s'écrit
