ACT2121-A2012 - Freakonometrics

Teaching › ACT2121-A2012

Thursday, December 20 2012

Actuariat 1, examen 3

By arthur charpentier on Thursday, December 20 2012, 15:03

L'examen de lundi est en ligne ici, avec des éléments de correction là (avec comme toujours des statistiques sur les réponses). Les notes seront publiées bientôt. Toute personne qui trouve des erreurs peut me contacter avant que je ne valide les notes. L'examen correspondait à l'examen de pratique 15 du livre de Jacques Labelle (je n'ai rien inventé). Pour une des questions, la réponse n'était pas parmi les réponses proposées. J'ai donc finalement noté l'épreuve sur 29 (et appliqué un coefficient multiplicatif pour ramener à une note sur 30). Comme toujours, ceux qui ont prédit correctement leur nombre de bonnes réponses ont eu un point bonus.

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Monday, December 10 2012

Actuariat 1, ACT2121, huitième cours

By arthur charpentier on Monday, December 10 2012, 10:55

ACT2121

Pour le huitième cours, on continuera les exercices commencés la semaine passée. Je mets toutefois en ligne quelques exercices supplémentaires, pour ceux qui souhaitent s'entraîner davantage. Pour rappel (?) l'examen final aura lieu ~~dans 2 semaines~~ lundi prochain, et portera sur l'ensemble de la matière,

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Sunday, December 2 2012

ACT2121, éléments de correction

By arthur charpentier on Sunday, December 2 2012, 13:54

Le second intra avait lieu lundi dernier. L'énoncé est en ligne, ainsi que des éléments de correction (comportant également des statistiques par réponse, la bonne réponse étant en rouge). Comme annoncé au tableau, dans la question 21, il y a eu un copier-coller malencontreux (les bonnes réponses ont été écrites au tableau). Toutes mes excuses. Quant à la question 29, certains élèves s'étaient plaint de ne avoir de table de loi normale à disposition. J'avais projeté au tableau la table suivante. A mes yeux, la probabilité qu'une loi normale (centrée et réduite) soit inférieure à 2 devrait être sue par cœur (comme beaucoup d'autres quantités).

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Thursday, November 29 2012

Actuariat 1, ACT2121, septième cours

By arthur charpentier on Thursday, November 29 2012, 07:51

Toujours dans le cadre de la préparation à l'examen P de la SOA, une série d'exercices. Comme il reste trois semaines (en plus de l'examen final), on va essayer de finir de revoir l'ensemble des notions. Les 50 exercices sont en ligne ici. L'énoncé et la correction du devoir de lundi dernier seront mis en ligne très bientôt...

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Sunday, November 18 2012

Actuariat 1, ACT2121, sixième cours

By arthur charpentier on Sunday, November 18 2012, 23:52

ACT2121

Avant le second intra, une dernière série d'exercice, pour préparer l'examen P, en ligne ici

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Monday, November 12 2012

ACT2121, éléments de correction (3)

By arthur charpentier on Monday, November 12 2012, 20:56

Retour sur la correction faite rapidement au tableau pour l'exercice 18 de la 5ème série d'exercices. Pour résumer, on nous disait que $http://latex.codecogs.com/gif.latex?X$ avait pour fonction génératrice des moments

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?M_X(t)=\left(\frac{e^t}{3-2e^t}\right)^4$

Or avec la fonction génératrice des moments (ou ses dérivées) on obtient les moments (en calculant des dérivées et en faisant des développements en série entière), et pas les probabilités, e.g. $http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(X=6)$ comme demandé dans l'exercice. Notons tout d'abord que l'on peut écrire

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?M_X(t)=\left(\frac{1/3\cdot%20e^t}{1-(1-1/3)\cdot%20e^t}\right)^4$

L'astuce est donc de reconnaître une loi connue. On ne reconnait ni la loi binomiale, ni la loi de Poisson. En revanche, le terme fractionnaire est la fonction génératrice des moments d'une loi géométrique, de probabilité $http://latex.codecogs.com/gif.latex?p=1/3$ .

Aussi, comme la puissance apparaît en prenant des sommes de variables indépendantes, on peut noter que

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?X\overset{\mathcal{L}}{=}G_1+G_2+G_3+G_4$

où les variables $http://latex.codecogs.com/gif.latex?G_i$ sont indépendantes, de loi géométrique de probabilité $http://latex.codecogs.com/gif.latex?p=1/3$ , vérifiant pour $http://latex.codecogs.com/gif.latex?k=1,2,\cdots$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(G_i=k)=(1-p)^{k-1}p$

La somme des quatre variables fait penser à une loi binomiale négative. En fait, avec cette écriture,

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?Z=G_1+G_2+G_3+G_4-4$

suit une loi binomiale négative $http://latex.codecogs.com/gif.latex?BN(p,r=4)$ . Et aussi

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(N=6)=\mathbb{P}(Z=2)$

Reste à écrire cette probabilité

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(Z=2)=\frac{\Gamma(4+2)}{2!\Gamma(4)}\frac{1}{3^4}\frac{2^2}{3^2}=\frac{2^3\cdot%205}{3^6}$

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Sunday, November 11 2012

Actuariat 1, ACT2121, cinquième cours

By arthur charpentier on Sunday, November 11 2012, 22:39

ACT2121

Nouvelle série d'exercices pour s'entraîner pour l'examen P, en ligne ici.

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Sunday, November 4 2012

Actuariat 1, ACT2121, quatrième cours

By arthur charpentier on Sunday, November 4 2012, 23:35

ACT2121

(si on oublie l'examen intra de la session passée). Pour cette quatrième session d'entraînement pour l'examen P, les transparents sont en ligne ici.

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Monday, October 29 2012

ACT2121 premier examen

By arthur charpentier on Monday, October 29 2012, 15:55

Cet après-midi avait lieu le premier examen d'actuariat 1, préparatoire pour l'examen P de la SOA. Comme pour l'examen P, il y avait des questions à choix multiples, en un temps (très limité). Le sujet est en ligne, ainsi que des éléments de corrections ~~(bientôt)~~ ici. Si vous n’êtes pas d'accord avec mes corrections, merci de me le dire rapidement, si possible avant que je n'attribue les notes...

[5 novembre 2012] les notes sont en ligne, et je me suis permis de rajouter les graphiques de distribution des réponses dans le solutionnaire.

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Tuesday, October 23 2012

ACT2121, éléments de correction (2)

By arthur charpentier on Tuesday, October 23 2012, 10:14

Un petit complément pour revenir sur un calcul fait hier, en classe, au tableau.

"Une police d’assurance couvre des pertes X et Y qui sont des variables aléatoires continues fonction dont on donne la densité conjointes. Trouver l’espérance du remboursement s’il est de X + Y avec un déductible de 1."

Au tableau, je m'étais lancé dans des calculs un peu compliqué (notant que les variables étaient indépendantes, on pouvait utiliser la convolution pour trouver la loi de la somme facilement... mais on reviendra sur ce calcul plus tard). La solution la plus simple était la suivante: la loi de $http://latex.codecogs.com/gif.latex?(X,Y)$ admet pour densité $http://latex.codecogs.com/gif.latex?f_{X,Y}(x,y)=2x\boldsymbol{1}_{[0,1]\times[0,1]}(x,y)$ . Le remboursement $http://latex.codecogs.com/gif.latex?R$ est la variable aléatoire
$http://latex.codecogs.com/gif.latex?R=h(X,Y)=(X+Y-1)\boldsymbol{1}_{]1,+\infty[}(X+Y)$

On peut alors faire le calcul de
$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(R)=\int_{\mathbb{R}^2}%20h(x,y)f(x,y)dxdy$

i.e.

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(R)=\int_0^1%20\int_{1-x}^1%20[x+y-1]2x%20dy%20dx$

soit

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_0^1%202x\left[(x-1)y+\frac{y^2}{2}\right]_{1-x}^1%20dx=\int_0^1%20x^3dx=\frac{1}{4}$

Voilà pour la version simple (et finalement assez générale). Pour la version plus compliquée

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20f_{X,Y}(x,y)=2x\boldsymbol{1}_{[0,1]\times[0,1]}(x,y)=\underbrace{2x%20\boldsymbol{1}_{[0,1]}(x)}\underbrace{%20\boldsymbol{1}_{[0,1]}(y)}$

autrement dit, on a obtenu que les deux composantes étaient indépendantes, et que $http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20Y$ est uniformément distribuée sur $http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20[0,1]$ . Aussi, pour la loi de la somme

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20\mathbb{P}(S%3Es)=\int_{0}^1%20\mathbb{P}(S%3Es|Y=y)f_Y(y)dy=\int_{0}^1%20\mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)dy$

et par indépendance,

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)=\mathbb{P}(X%3Es-y)=\int_{s-y}^1%20f_X(x)dx$

i.e.
$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)=%20\int_{s-y}^1%202x\boldsymbol{1}_{[0,1]}(x)%20dx=\int_{\max\{s-y,0\}}^1%202xdx$
soit

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)=\left[x^2\right]_{\max\{s-y,0\}}^1=1-(\max\{s-y,0\})^2$

Aussi

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(S%3Es)=\int_{0}^1%20\big(%201-(\max\{s-y,0\})^2%20\big)dy$

Première chose, on note que

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(S%3E1)=\int_{0}^1%20\big(%201-(\max\{1-y,0\})^2%20\big)dy=\int_{0}^1%20\big(%201-(1-y)^2%20\big)dy$
i.e.
$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(S%3E1)=\left[y+\frac{(1-y)^3}{3}\right]_0^1=1+0-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

J'avais alors suggéré d'utiliser (en utilisant la propriété que pour une variable positive, l'espérance est l'intégrale de la fonction de survie) que

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(R)=\int_0^1%20\mathbb{P}(R%3Es)ds$

Or cette expression n'est valide que pour une variable strictement positive ! Or ici, il y a de forte chance (1/3) que le remboursement soit nul. Le plus simple est alors de faire des calculs classiques d’espérance. Notons que
$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(S%3E1+s)=\left[y+\frac{(1+s-y)^3}{3}%20\right]_0^1=1+\frac{s^3}{3}-\frac{(s+1)^3}{3}$
donc un peu de calcul de dérivées permet d'écrire $http://latex.codecogs.com/gif.latex?f_S(s)=s(2-s)$ pour $http://latex.codecogs.com/gif.latex?s\in[1,2]$ . On peut alors calculer l'espérance du remboursement
$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(R)=\int_1^2(s-1)f_S(s)ds=\int_1^2(s-1)s(2-s)ds$
soit
$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(R)=\int_1^2(s^3+3s^2-2s)ds=\left[\frac{s^4}{4}+s^3-s^2\right]_1^2=\frac{1}{4}$

Youpi, avec plein de calculs, on arrive au même résultat...

Faisons un peu de simulations pour vérifier,

> n=1000000
> set.seed(1)
> X=sqrt(runif(n))
> Y=runif(n)

On peut vérifier par exemple la densité de $http://latex.codecogs.com/gif.latex?S$ sur $http://latex.codecogs.com/gif.latex?[1,2]$ ,

> u=seq(1,2,by=.01)
> hist(X+Y,probability=TRUE,col="light blue")
> lines(u,u*(2-u),lwd=2,col="red")

Si on regarde maintenant la prime pure, on retrouve le résultat obtenu par deux calculs différents,

> R=(X+Y-1)*(X+Y>1)
> mean(R)
[1] 0.2497528

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Friday, October 19 2012

Actuariat 1, ACT2121, troisième cours

By arthur charpentier on Friday, October 19 2012, 10:41

Pour la troisième série d'exercices, les exercices sont en ligne ici.

Je rappelle que lundi 29 octobre aura lieu le premier examen (qui compte pour 33,33% de la note finale, comme annoncé dans le plan de cours, en ligne ici). Il y aura 30 questions, en français, du même type que celles vues toutes les semaines. La correction se fera suivant le principe de l'examen P de la SOA

"A candidate’s score will be based on the number of questions answered correctly. No credit will be given for omitted answers, and no credit will be lost for wrong answers; therefore, a candidate should answer all questions, even if the candidate needs to guess."

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Monday, October 15 2012

ACT2121, éléments de correction

By arthur charpentier on Monday, October 15 2012, 19:40

La plupart des calculs pouvant se faire sans calculs (trop) complexes avec une calculatrice, je vais revenir sur un exercice (l'exercice 11 de la seconde série) pour proposer une correction.

"Le petit Nestor collectionne les cartes de joueurs de Baseball dans les paquets de gommes à mâcher. Il y a en tout 20 cartes différentes (réparties aléatoirement, une par paquet). Combien de paquets de gommes Nestor devrait-il s’attendre à avoir à acheter pour obtenir la collection complète ? "

La bonne stratégie était d'ordonner les cartes par ordre d'apparition, pour la première fois, et de modéliser le nombre de paquets entre deux premières apparitions, comme indiqué sur le dessin ci-dessous

Si $N$ désigne le nombre total de paquets à acheter, on note $M_i$ le nombre de paquets à acheter, entre l'apparition de la $i-1$ ème nouvelle carte, et la $i$ ème (avec la convention que $M_1$ vaut 1, i.e. à l'achat du premier paquet, on a notre première carte). On notera que $M_i\sim\mathcal{G}((20-(i-1))/20)$ et à partir de là, les calculs sont simples, puisque

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(N)=\mathbb{E}(M_1+M_2+\cdots+M_{20})$

soit (par linéarité de l'espérance)

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(N)=\mathbb{E}(M_1)+\mathbb{E}(M_2)+\cdots+\mathbb{E}(M_{20})$

i.e.

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(N)=\left(%201+%20\frac{20}{19}%20+%20\frac{20}{18}%20+%20\frac{20}{17}%20+%20...%20+%20\frac{20}{2}+\frac{20}{1}%20\right)$

ou encore

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(N)=20\left(%20\frac{1}{20}+%20\frac{1}{19}%20+%20\frac{1}{18}%20+%20\frac{1}{17}%20+%20...%20+%20\frac{1}{2}+1%20\right)$

La bonne réponse était alors (il faut sommer les vingt termes)

> sum(20/(1:20))
[1] 71.95479

Mais cette sommation de vingt termes n'est pas triviale, aussi, en cours, j'avais suggéré que

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?1+%20\frac{1}{2}%20+%20\frac{1}{3}%20+%20\frac{1}{4}%20+%20...%20+%20\frac{1}{n}%20\sim%20\ln(n)$

> log(20)*20
[1] 59.91465

qui diffère du résultat numérique car il manquait la constante d'Euler

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\gamma%20=%20\lim_{n%20\rightarrow%20\infty%20}%20\left(%201+%20\frac{1}{2}%20+%20\frac{1}{3}%20+%20\frac{1}{4}%20+%20...%20+%20\frac{1}{n}%20-%20\ln(n)%20\right)$

i.e.

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?1+%20\frac{1}{2}%20+%20\frac{1}{3}%20+%20\frac{1}{4}%20+%20...%20+%20\frac{1}{n}%20\sim%20\ln(n)+\gamma$

Numériquement, on obtient, en prenant pour $http://latex.codecogs.com/gif.latex?\gamma$ 0.57721 (cf Google)

> (log(20)+ 0.57721)*20
[1] 71.45885

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Sunday, October 14 2012

Actuariat 1, ACT2121, second cours

By arthur charpentier on Sunday, October 14 2012, 19:27

Comme la dernière fois, je mets en ligne quelques exercices (une soixantaine cette fois). On devrait commencer à parler des lois usuelles de probabilités, pour l'instant des lois discrètes

la loi de Poisson

Si $http://latex.codecogs.com/gif.latex?X$ suit une loi $http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathcal{P}(\lambda)$ ,

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=%20\mathbb%20P(X%20=%20k)=%20e^{-\lambda}\frac{\lambda%20^k}{k!}\,$

Dans ce cas, $http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(X)=\lambda$ et $http://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(X)=\lambda$ . La fonction génératrice des moments est alors

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20M_{X}(t)=%20\mathbb{E}(e^{tX})=\exp\left(\lambda%20(e^t-1)\right)$

la loi binomiale

Si $http://latex.codecogs.com/gif.latex?X$ suit une loi $http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathcal{B}(n,p)$ ,

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=\mathbb%20P(X%20=%20k)=%20{n%20\choose%20k}%20\,%20p^k%20q^{n-k}$

Dans ce cas, $http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb%20E(X%20)=np$ et $http://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(X%20)=np(1-p)$ . La fonction génératrice des moments est alors

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=%20\mathbb%20P(X%20=%20k)=%20e^{-\lambda}\frac{\lambda%20^k}{k!}\,$

la loi binomiale négative

Enfin,, si $http://latex.codecogs.com/gif.latex?X$ suit une loi $http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20BN(r,p)$ , $http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=%20\mathbb%20P(X%20=%20k)=%20%20\frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,q^k%20\!$

Dans ce cas,

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20\mathbb%20E(X%20)=%20\frac{r(1-p)}{p}\!$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20\text{Var}(X%20)=%20\frac{r(1-p)}{p^2}\!$

La fonction génératrice des moments est alors

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20M_{X}(t)=%20\mathbb{E}(e^{tX})=%20\left(\frac{p}{1-[1-p]%20e^t}\right)^r%20\!$

Je remettrais la semaine prochaine les lois continues les plus usuelles. Demain, soit on attaque cette nouvelle série, soit on revient sur des exercices de la semaine passée qui auraient posé problème...

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Monday, October 8 2012

Actuariat 1, éléments de correction, cours 1

By arthur charpentier on Monday, October 8 2012, 21:28

Suite à plusieurs demandes, je mets en ligne la correction des choix multiples, des exercices en ligne ici

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Je n'ai pas prévu de taper de correction, par contre, on peut faire en cours des exercices qui paraitraient obscurs.

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Monday, October 1 2012

Actuariat 1, ACT2121, premier cours

By arthur charpentier on Monday, October 1 2012, 12:34

Le premier cours de l'automne d'ACT2121 actuariat I aura lieu lundi après midi, au local SH3220. Comme il s'agit de préparer l'examen P de la SOA, nous allons passer les séances à faire des exercices. Le plan de cours sera mis en ligne prochainement. L'ouvrage de référence est le livre de Jacques Labelle, exercices de probabilités appliquées. A chaque séance, je proposerai une série de 90 exercices, et on en fera autant que possible (dans les conditions de l'examen, avec préparation de 6 minutes par exercices). Pour la première séance, les exercices sont en ligne,

Je rajouterai au fur et à mesure des compléments de cours, voire des corrections, au fur et à mesure...

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Teaching › ACT2121-A2012

Actuariat 1, examen 3

Actuariat 1, ACT2121, huitième cours

ACT2121, éléments de correction

Actuariat 1, ACT2121, septième cours

Actuariat 1, ACT2121, sixième cours

ACT2121, éléments de correction (3)

Actuariat 1, ACT2121, cinquième cours

Actuariat 1, ACT2121, quatrième cours

ACT2121 premier examen

ACT2121, éléments de correction (2)

Actuariat 1, ACT2121, troisième cours

ACT2121, éléments de correction

Actuariat 1, ACT2121, second cours

Actuariat 1, éléments de correction, cours 1

Actuariat 1, ACT2121, premier cours

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