Freakonometrics

En fin de TD, nous avons vu comment calculer des quantiles à l'aide des résultats sur les valeurs extrêmes. Pour reprendre le début du code, nous avons vu tout d'abord comment calculer une volatilité historique par moyenne mobile,
> library(tseries)
> X=get.hist.quote("^FCHI")
essai de l'URL 'http://chart.yahoo.com/table.csv?s=^FCHI&a=0&b=02&c=1991&d=1&e=15&f=2010&g=d&q=q&y=0&z=^FCHI&x=.csv'
Content type 'text/csv' length unknown
URL ouverte
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> P=X$Close
> R=diff(log(P))
> plot(R)
> abline(h=mean(R)+qnorm(.05)*sd(R),col="green")
> abline(h=mean(R)+qnorm(.01)*sd(R),col="blue")

> for(t in 1:length(R)){
+ sigma2[t+1,1]=beta1*sigma2[t,1]+(1-beta1)*R[t+1]^2
+ sigma2[t+1,2]=beta2*sigma2[t,2]+(1-beta2)*R[t+1]^2
+ sigma2[t+1,3]=beta3*sigma2[t,3]+(1-beta3)*R[t+1]^2
+ }
Erreur dans sigma2[t + 1, 1] = beta1 * sigma2[t, 1] + (1 - beta1) * R[t +  :
  indice hors limites
> S2=ts(data = sigma2, start = 1991, frequency = 252)
> plot(qnorm(.01)*sqrt(S2[,2]),col="red")
> abline(h=mean(R)+qnorm(.05)*sd(R),col="green")
> abline(h=mean(R)+qnorm(.01)*sd(R),col="blue")
> lines(qnorm(.01)*sqrt(S2[,3]),col="purple")

Bref,on a une estimation locale de la volatilité, avec une estimation globale (en ensuite on utilise le fait que, localement, on suppose les rendements Gaussiens).
On peut ensuite utiliser des résultats sur les valeurs extrêmes, comme évoqués ici. Tout d'abord essayons d'utiliser l'estimateur de Hill. Le soucis est que pour calculer l'estimateur de Hill, il faut des données positives. On va donc se restreindre aux fortes pertes, dont on prendra ensuite l'opposé.
> RP=-R[R<(-.01)]
> length(RP)/length(R)
[1] 0.1843194
On se focalise ainsi sur 20% des observations, correspondant aux plus fortes pertes (rendement journaliers présentant une perte supérieure - en valeur absolue - à 1%). Pour calculer le quantile à 99% sur l'ensemble, il faudra calculer le quantile à 94,5% sur cette sous base,
> 1-0.01/(length(RP)/length(R))
[1] 0.9457464
Si on regarde l'estimateur de Hill sur le quantile, on obtient
> library(evir)
> hill(RP,option="quantile",p=.945)
Graph may look strange !!
Suggestion 1: Increase `p' above 0.98316
Suggestion 2: Increase `start' above  50

Autrement dit, une valeur de -4,1% semble être un estimateur possible. Ramené sur le graphique précédant, on obtient la barre suivante, avec le trait en noir sur le graphique,

On peut aussi utiliser un ajustement de loi GPD qui peut se faire à partir de la base initiale, en expliquant qu'on s'intéresse aux pertes dépassant (en valeur absolue toujours) 1,5%,
> GPD=gpd(as.numeric(-R),.015)
> TP=tailplot(GPD)
>  gpd.q(TP, 0.99)
  Lower CI   Estimate   Upper CI
0.03755175 0.03971711 0.04242509
>  gpd.q(TP, 0.995)
  Lower CI   Estimate   Upper CI
0.04480919 0.04811167 0.05270170
>  gpd.q(TP, 0.999)
  Lower CI   Estimate   Upper CI
0.06184920 0.06991049 0.08305725
On obtient ici un quantile à 99% aux alentours de 3,7% (4,1% semblant ici trop important). 

Mais de la même manière que supposer la volatilité constante dans le temps était absurde, on peut douter de la pertinence de notre analyse, en utilisant la théorie des valeurs extrêmes sur l'ensemble de la base. Le code suivant, qui est un peu du bricolage (mais tant pis) permet de calculer à différentes dates des quantiles avec la méthode précédente en prenant en compte les 200 dernières observations,
> n=length(R)
> q=matrix(NA,100,3)
> for(i in 1:100){
+ debut=max(0,trunc(n/100*i)-200)+1
+ fin=trunc(n/100*i)
+ x=R[debut:fin]
+ out=gpd(-x,0.005)
+ OUT=tailplot(out,plot=FALSE)
+ Q=gpd.q(OUT,.99)
+ q[i,]=Q[]}
On peut visualiser l'ensemble sur le graphique suivant
> DT=as.Date("01/01/1991","%m/%d/%Y")+seq(0,n,by=n/100)/252*365
> I=is.na(q[,2])
> plot(DT[I==FALSE],-q[I==FALSE,2],type="l",col="red")

Le trait noir est l'ajustement Pareto global, la courbe orange est celui par estimation glissante de la volatilité, et celle en rouge est l'estimation GPD glissante (sur 200 jours). Il y a peut être des soucis temporelles (car il faut trouver un bon proxi de la date), mais voici en gros ce que l'on peut faire en quelques lignes de commande.